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L'equazione della circonferenza

UN ALTRO ESEMPIO DI LUOGO GEOMETRICO La circonferenza è l'esempio più semplice, tra le coniche, di luogo geometrico. Ricordiamo che un luogo geometrico è un insieme di punti che condividono tutti una stessa proprietà. Abbiamo già visto esempi di luoghi geometrici parlando dell'asse di un segmento (vedi qui). La proprietà che accomuna tutti i punti di una circonferenza è questa: tutti i punti della circonferenza sono equidistanti da un certo punto fissato, detto CENTRO DELLA CIRCONFERENZA. La distanza tra tutti i punti della circonferenza ed il centro, cioè, è sempre uguale; questa distanza si chiama RAGGIO della circonferenza. Nell'animazione qui sotto, vedremo i concetti appena esposti ed imposteremo la formula di una circonferenza di esempio. Nel testo ancora di seguito continueremo i calcoli e troveremo l'equazione della circonferenza.
Proseguiamo i calcoli partendo dalla formula che abbiamo ottenuto, cioè: Prima di procedere ribadiamo che un'equazione in questa forma è l'applicazione diretta della definizione di circonferenza: sono tutti i punti che hanno distanza dal centro, in questo caso , pari ad un certo valore, detto raggio, che in questo caso misura . Ora rendiamo l'equazione più leggibile, ed innanzitutto eleviamo al quadrato sia il primo che il secondo membro, così sparisce la radice: Svolgiamo i calcoli dei due quadrati di binomio Portando tutto a primo membro ed ordinando per potenze decrescenti di e troviamo l'equazione finale della nostra circonferenza.

Vedremo che i coefficienti della e della sono sempre uguali a (o comunque sono uguali tra loro, e se non valgono li possiamo far diventare tali dividendo tutto per il loro valore). Vedremo, quando ci occuperemo di ellissi ed iperboli che questo è dovuto al fatto che la circonferenza si "allunga" allo stesso modo nelle due direzioni, come invece non faranno le altre due coniche. Dato che i primi due coefficienti non sono significativi dato che hanno lo stesso valore per tutte le circonferenze, possiamo dire che una circonferenza qualsiasi ha questa forma:

dove:
  • è il coefficiente della (nel nostro esempio vale -4)
  • è il coefficiente della (nel nostro esempio vale -8)
  • è il termine noto, cioè quello senza incognite (nel nostro esempio vale +16)
La forma (1) dell'equazione di una circonferenza è detta "canonica", cioè standard: è il formato in cui organizziamo i vari termini quando li mettiamo "in ordine", sapendo che è lo stesso formato usato da tutti. Per alcuni versi è più chiaro e semplice: i conti sono tutti svolti, è un polinomio - quindi vi compaiono operazioni molto semplici - ed è evidentemente di secondo grado. Abbiamo però visto che il formato usato all'inizio di questo paragrafo, cioè è molto più CHIARO, perché se lo sappiamo leggere ci dice immediatamente il raggio ed il centro della circonferenza, cioè come è fatta. Ovviamente al posto di questi numeri in generale ce ne saranno altri, cioè avremo un'equazione del tipo: Ancora più chiara è l'equazione che otteniamo elevando al quadrato entrambi i membri, perché le caratteristiche della circonferenza rimangono evidenti ma non c'è la radice quadrata:

Decidiamo allora di chiamare la forma l'equazione di base una circonferenza, per indicare che è il formato che traduce in modo diretto il concetto stesso, l'idea di circonferenza. Questo nome non è una definizione ufficiale e ce lo siamo inventati noi - se qualcuno ha proposte alternative che rendano meglio l'idea può proporlo!
LE CARATTERISTICHE DELLA CIRCONFERENZA "NASCOSTE" NELLA SUA EQUAZIONE CANONICA Abbiamo visto che una circonferenza è caratterizzata dalle coordinate del suo centro e dal raggio (che nell'esempio visto valevano rispettivamente , e . Quando abbiamo trovato la sua equazione canonica, abbiamo visto che dipende da tre numeri, che nel nostro caso erano , e . Vogliamo capire se c'è una relazione tra questi gruppi di valori, ed in particolare vogliamo rispondere a questa domanda: se conosco a, b e c di una circonferenza, riesco a risalire al suo centro ed al suo raggio? Per fare questo rifaccio il calcolo dell'equazione di una circonferenza, ma questa volta per le coordinate del centro e per il raggio non uso dei numeri particolari ma delle lettere, perché così vedo meglio come queste lettere si combinano a formare l'equazione finale. Cerchiamo quindi l'equazione di una circonferenza di centro e raggio . Come abbiamo fatto la prima volta, imponiamo che la distanza tra il centro ed il punto generico della circonferenza sia uguale al raggio.

ATTENZIONE: è una lettera diversa da :
  • è la x del centro della circonferenza, quindi in ogni circonferenza è un numero ben preciso (nel nostro primo esempio valeva 2); usiamo una lettera perché ora non abbiamo ancora deciso che numero è, ma va trattato come se fosse un numero: è un parametro
  • è la x di un punto QUALSIASI della circonferenza, quindi anche dopo aver scelto la circonferenza rimane a tutti gli effetti una lettera, una variabile che rappresenta TUTTE le possibili x dei punti della circonferenza.
Le chiamiamo entrambe "x" perché sono delle ascisse e per distinguerle dalle "y", ma sono molto diverse e non si confondono. Stessa cosa vale per le y. Svolgiamo i calcoli come prima, elevando innanzitutto al quadrato entrambi i membri ed ottenendo quella che abbiamo chiamato "equazione di base" della circonferenza. Svolgiamo i quadrati di binomio... (da notare che abbiamo scritto prima le delle , perché la lettera "vera" è la , mentre è un numero e quindi va scritto nella prima parte del monomio. Stessa cosa con le y.) Portiamo tutto a primo membro ed ordiniamo per potenze decrescenti di e , esattamente come abbiamo fatto nel nostro primo esempio:

Confrontandolo con la equazione generale che abbiamo ottenuto prima abbiamo

possiamo quindi notare che:
  • il coefficiente della , cioè , vale
  • il coefficiente della , cioè , vale
  • la parte senza incognite, cioè il termine noto , è pari a
Abbiamo quindi ottenuto le "istruzioni" per passare da , e alle caratteristiche , ed della circonferenza (e viceversa). Le riassumiamo in questo sistema (infatti tutte queste condizioni sono vere contemporaneamente): UNA VERIFICA PER VEDERE SE ABBIAMO CAPITO Vediamo ora se siamo capaci di utilizzare quello che abbiamo imparato per trovare centro e raggio di una circonferenza. Consideriamo di nuovo la nostra circonferenza di esempio

Dimentichiamoci per un attimo le coordinate del suo centro e la misura del suo raggio e vediamo se riusciamo a ricavarle con le "istruzioni" che abbiamo appena trovato. Come abbiamo detto, i valori di questa circonferenza sono:
Sostituiamo questi valori nelle prime due formule del sistema ed otteniamo Quindi la nostra circonferenza ha centro in . Corrisponde con i dati iniziali che avevamo circonferenza! :D. Ci rimane solo da sostituire ed i valori trovati per e nell'ultima equazione e trovare il raggio: Svolgendo i calcoli otteniamo Ovviamente l'unico valore che ha senso per il raggio è quello positivo, quindi abbiamo ottenuto , ed anche la terza caratteristica che cercavamo coincide con quella originale :D. Quindi data una circonferenza qualsiasi adottando questo sistema siamo in grado di trovare le coordinate del suo centro e la misura del suo raggio.
RISALIRE ALLA CARATTERISTICHE CON IL METODO DI COMPLETAMENTO DEL QUADRATO Vediamo ora un altro modo per calcolare le caratteristiche di una circonferenza senza utilizzare le formule ma ragionando sull'idea di circonferenza. Consideriamo l'equazione canonica Vogliamo verificare se è una circonferenza, ed in caso affermativo quale è il suo centro ed il suo raggio. Notiamo che i coefficienti di e sono uguali ed entrambi uguali ad uno, quindi questa equazione assomiglia a quella di una circonferenza. Sarebbe più comodo se avessimo non la sua equazione canonica, ma quella di base, cioé del tipo dell'equazione che mostra chiaramente centro e raggio della circonferenza:

Manipoliamo allora la nostra equazione in modo da trasformarla in questo formato. Vediamo che l'equazione di base racchiude la e la in due quadrati di binomio. Iniziamo ad organizzare la nostra equazione in modo da ottenere questi quadrati: raggruppiamo i termini in , quelli in e portiamo il termine noto a secondo membro (dove comparirà il raggio ): In ognuna delle espressioni racchiuse da parentesi graffe manca un termine per avere un quadrato di binomio. Puoi calcolare i numeri mancanti sapendo ad esempio che deve essere il doppio prodotto tra ed il secondo numero, che quindi è - di conseguenza il secondo quadrato vale . Ripetendo lo stesso ragionamento con le ottengo: Come al solito abbiamo aggiunto le stesse quantità anche a secondo membro, per equilibrare l'equazione: se semplifichiamo i termini colorati otteniamo l'equazione di partenza, a conferma del fatto che non abbiamo cambiato l'equazione, l'abbiamo solo riscritta in una forma diversa. A questo punto abbiamo Abbiamo praticamente raggiunto il nostro obiettivo di riscrivere l'equazione nel formato di base : ci basta notare che può essere visto come . Mettiamo anche in evidenza che il binomio è la differenza tra e , in modo da riprodurre in modo identico l'equazione di base: Questa equazione parla di punti che hanno tutti distanza da pari a , quindi abbiamo trovato centro e raggio della circonferenza. NOTA: ovviamente se il termine al secondo membro non è un quadrato perfetto come ma un valore qualsiasi, possiamo sempre trovare il raggio. Ad esempio se a secondo membro abbiamo , possiamo riscriverlo come e quindi il raggio misurerà appunto .