Ligedannede og kongruente trekanter
Forskellige trekanter
Ligedannede trekanter
To polygoner er ligedannede, hvis alle vinkler i de to polygoner er parvis ens. Vinklerne i det ene polygon skal altså være magen til vinklerne i det andet polygon. Polygonernes sider behøver ikke at være lige store, så længe vinklerne bare er de samme i de to polygoner.
Derfor er den blå trekant (ABC) ligedannet med både den orange (DEF) og den grønne trekant (GHI) herover, fordi alle vinklerne er i den blå er magen til vinklerne i den orange og grønne trekant. Bemærk at man godt må dreje figurerne (som fx ved den blå og den grønne trekant).
Sider i to ensvinklede trekanter, der ligger overfor vinkler med samme størrelse, kaldes ensliggende sider.
Hvis vi kigger på den blå trekant og den orange trekant, så er siden b ensliggende med siden d, fordi vinklerne i "enderne" af siden b har stamme størrelse som vinklerne i enderne af siden d (90 og 45 grader).
Det samme gælder for siden a i den blå trekant og siden g i den grønne trekant, da begge vinkler her er 45 grader.
Målestoksforhold i ligedannede polygoner
Når man kender to ensliggende sider (en i hver trekant), kan man regne målestoksforholdet ud. De to sider a og e er ensliggende (fordi vinklerne er parvis ens):
Siden a er 2.83 cm stor, og siden e er 4.24.
Lad os sige, at vi ikke kender længden af siden d, og godt vil finde den. Det kræver at vi kender to ensliggende sider (det gør vi jo, som vist herover) og at vi kender den ensliggende side på den lille trekant.
Hvis vi kender siden på den lille trekant, så kan vi nemlig gange siden med forholdet mellem siderne, og dermed finde længden af den manglende side. Forholdet mellem siden a og side e er det samme som forholdet mellem side b og side d:
(Se evt alternativ forklaring af den sammenhæng på dette link)
Vi indsætter de sidelængder vi kender:
Vi isolerer siden d ved at gange med 3 på begge sider:
Når vi regner stykket herover, finder vi dermed længden af siden d:
OMG, den passer med den orange trekant, så der er jo fedt!
Ovenstående regnestykke kan også formuleres på en anden måde:
Først udregner vi målestoksforholdet mellem de to trekanter (altså det som man skal gange en side i den lille trekant med, for at finde en side i den store trekant). Det gør vi ved at dividere en ensliggende side (e = 4.24) i den store trekant med den tilhørende ensliggende side (a = 2.83) i den lille trekant:
Og så ganger vi den ensliggende sidelængde i den lille trekant (side b = 2) med målestoksforholdet, så vi finder sidelængden i den store trekant:
Dermed er den orange side d altså:
Nye begreber (lidt om navne på polygoner)
I trekanter kan man snakke om sider i forhold til vinkler. Hvis vi kigger på trekanten ABC herunder, så kan man sige at:
Om sider i en trekant
- Siden b er den modstående side til vinklen B, fordi man skal gå gennem trekanten for at komme til siden. Lidt ligesom når to personer kigger mod hinanden - De kan se hindanden, men der kan godt være fx en sø i vejen.
- Siden a og siden c er de hosliggende sider til vinklen B.
- Vinkel A er den mellemliggende vinkel til siderne b og c, fordi vinklen ligger mellem/bliver lavet af de to sider b og c.
- Vinkel C er den modstående vinkel til siden c, fordi man skal gå gennem figuren for at nå vinklen fra side c.
Kongruente figurer
To polygoner er kongruente, hvis alle vinkler og sider er parvis ens. En anden huskeregel er, at den ene polygon lige præcis kan dække den anden figur, uden at man forstørre eller formindsker den. Man må godt dreje figuren (så den blå og den grønne trekant øverst er kongruente), men da både sidelængde og vinkler skal være parvis ens, så er den orange trekant ikke kongruent med den blå trekant (eller nogen af de andre trekanter for den sags skyld).
FUNFACT: Alle kongruente trekanter er også ligedannede. Men ikke alle ligedannede trekanter er kongruente. Haha!
Undersøg trekanterne
Herover kan man finde tre trekanter, som man kan navngive ud fra navnene på hjørnerne:
Trekant ADE, trekant ABG og trekant AFH
Alle tre trekanter har en ret vinkel, og da vi allerede kender to af vinklerne i hver trekant (Vinkel A og den rette vinkel), kan vi finde den sidste vinkel, fordi vi ved at summen af alle tre vinkler i en trekant altid giver 180°: