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Lineales 3D, afines 2D

Autor:Rafael Losada Liste
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Cambio de sistema de referencia. Es fácil observar que las transformaciones lineales invertibles en el plano se pueden realizar mediante transformaciones lineales invertibles en tres dimensiones. Para ello, basta establecer la siguiente correspondencia en los movimientos de una figura plana:
  • Un giro 2D alrededor de (0, 0) equivale a un giro 3D alrededor del eje Z.
  • Una reflexión 2D en una recta que pase por (0, 0) equivale a una reflexión 3D respecto al plano perpendicular a XY que contiene a esa recta.
  • Un corte X en 2D equivale a un corte XZ en 3D, con czy=0. Un corte Y en 2D equivale a un corte YZ en 3D, con czx=0.
  • Un escalado en 2D equivale a un escalado en 3D, con kz=1.
Pero, además, las transformaciones afines en el plano también se pueden realizar mediante transformaciones lineales tridimensionales. Para ello, basta ver cómo se realiza una traslación 2D mediante una transformación lineal 3D, ya que cualquier otra transformación afín se compone de transformaciones lineales y traslaciones:
  • Una traslación 2D equivale a un corte XY en 3D.
En la siguiente construcción puedes observar estas equivalencias. La cara superior (azul) del paralelepípedo F siempre descansa en el plano z=1. Las transformaciones lineales del paralelepípedo se convierten en transformaciones afines de esa cara superior.
Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.

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