La Ley de los Grandes Números.
- Autor:
- Rafael Pérez Laserna
- Tema:
- Números
1. Introducción.
Muchos problemas de probabilidad, podemos determinar la probabilidad de cada uno de los sucesos aleatorios que lo componen utilizando la Ley de Laplace:
Pero ¿qué ocurre si no sabemos los casos posibles?¿O los casos favorables? Por ejemplo, sacar bolas de colores de una caja opaca, de la que desconocemos su contenido. No sabemos cuantas bolas hay, ni de que colores.
¿Que ocurre con un dado de seis caras? En teoría la probabilidad para cada cara es 1/6. Pero ¿y si está trucado?¿Cómo lo podemos saber?
En el caso de una ruleta, todos los números tienen la misma probabilidad, ¿pero y si está mal fabricada o peor aun trucada y todos los números no son equiprobables?
¿Cómo puede una fábrica determiar el número de artículos defectuosos que fabrica?
La Ley de los Grandes Números es una gran ayuda para contestar a estas preguntas.
2. ¿Qué es la Ley de los Grandes Números?
¿No os ha pasado nunca que cuando lanzamos una moneda nos salen muchas caras seguidas y la cruz sale con menos frecuencia o viceversa?¿En el parchís esperas para sacar un cinco para sacar ficha y no sale hasta después de muchos lanzamientos del dado?
Bueno estas cosas pasan a veces. Podemos llegar a pensar que la moneda o el dado están trucados o mal fabricados. En reallidad, eso es normal y lo explica la Ley de los Grandes Números.
La Ley de los Grandes Números nos dice que si no conocemos la probabilidad de un suceso en un experimento aleatorio, debemos hacer tantas veces el experimento que al hacer un estudio estadístico de los resultados, la frecuencia relativa de cada suceso llega un momento que se estabiliza. En ese momento diremos que la probabilidad del suceso coincide con su frecuencia relativa.
En el estudio de esta ley y otras relacionadas con ella, participaron matemáticos tan famosos como Cardano, Bernoulli, Poisson, Markov y Kolmogorov.
3. Actividad. Aplicación de la Ley de los Grandes Números al estudio del lanzamiento de un dado.
Con la ayuda de GeoGebra, vamos a realizar la siguiente actividad:
1. Construir un dado que vamos a lanzar muchísimas veces.
2. El programa hará un recuento de las veces que sale cada valor y calculará la frecuencia relativa de cada suceso.
3. Dibujaremos unos diagramas de barras en los que la X serán los valores que pueden salir al lanzar el dado y la Y será la frecuencia relativa de cada suceso. Recordemos:
Sobre la actividad podemos hacernos las siguientes preguntas:
1. Activar el deslizador n.
2. Observar como cambia el diagrama de barras conforme aumentamos o disminuimos el número de lanzamientos.
3. ¿Se estabilizan alguna vez las barras?¿Cuántos lanzamientos son necesarios para que ésto ocurra?¿A qué valor se acercan las frecuencias relativas cuando las barras se estabilizan? ¿Qué es ese valor? Razona tu respuesta.
4. ¿Cómo podrías aplicar esta Ley para determinar si un dado es trucado? Razona tu respuesta.
Ley de los Grandes Números, aplicados al lanzamiento de un dado.
4. Resolución
Observamos que si realizamos un número pequeño de lanzamientos, la frecuencia relativa no se parece a la probabilidad que la Ley de Laplace nos dice que sería de 1/6.
Sin embargo, despues de cientos o miles de lanzamientos, la frecuencia relativa se estabiliza y entonces la frecuencia relativa coincide con la probabillidad de Laplace.
Si tuvieramos un dado y no sabemos si está trucado o no, lo único que hay que hacer es realizar los suficientes lanzamientos para que la frecuencia relativa se estabilice. En ese momento observaremos cual es su frecuencia relativa. Si coincide con la de Laplace, que es 1/6 el dado será bueno. Si fuera distinta, entonces el dado está trucado y podremos observar que valores son los que tienen mayor probabilidad.
Este procedimiento se puede aplicar a muchos problemas de matemáticas por lo que es muy interesante, al relacionar la estadístiva y la probabilidad y además poder calcular la probabilidad de muchos experimentos aleatorios de los que desconocemos a priori, sus probabilidades.