Ilyen állat nincs!
- mondta az egyszeri ember, amikor életében először meglátott egy zsiráfot az állatkertben.
Ez volt a kedvenc mondása egykori tanáromnak és mentoromnak Csákány Bélának, amikor hihetetlennek tűnő dologgal találkozott.
Ezt mondta akkor is, amikor kezébe vette a - jóval később - Szilassi-poliédernek nevezett geometriai konstrukciót.. Most én kerültem hasonló helyzetbe. Ezt a messze nem szokványos történetet szeretném megosztani olvasóimmal.
Can I Solve This Unsolved Math Problem?
2025. január 20-án
bukkantam egy YouTube videóra, majd egy ezzel kapcsolatos weblapra:
https://github.com/HackerPoet/NeighborlyPolyhedra
Mindez röviden arról szól, hogy a szerző arra tesz kísérletet, hogy a tetraéderen és a Szilassi-poliéderen* kívül keressen olyan közönséges poliédert, amelynek bármely két lapja szomszédos.
A téma eddig legteljesebb kifejtése az alábbi 2024. április 19-én publikált munkában vált nyilvánossá:
https://www.mdpi.com/2073-8994/17/4/622
* Nem kis szerénytelenséggel, a rövidség, egyértelműség kedvéért én is így hivatkozom erre a konstrukcióra.
Az előzmények
Idézzünk fel néhány - reményeink szerint könnyen követhető - gráfeméleti, topológiai fogalmat.
Teljes gráfnak nevezzük azt a véges gráfot, amelynek bármely két csúcsát pontosan egy él köti össze.
Felületre rajzolható (feszíthető) az a gráf, amelynek minden éle (a csúcsait összekötő folytonos vonal) illeszkedik a felületre, úgy, hogy az élek nem metszik egymást.
Belátható, hogy az n csúcsú teljes gráf csak akkor rajzolható a síkra - ezzel egyenértékű módon a gömbre - , ha n≤4 . Így p.l az 5 csúcsú teljes gráf már nem rajzolható a síkba.
Egyszerűen megfogalmazható, de körültekintő bizonyítást igényel Euler poliéder-tétele, miszerint minden síkba rajzolt véges gráfra érvényes az C+L-E=2 összefüggés, ahol C a gráf csúcsainak E az éleinek L a lapjainak (tartományainak) a száma, amelyekre a gráf élei felbontják a síkot.
Ennek a tételnek az általánosítása az un. Euler - karakterisztika fogalma és az erre vonatkozó tétel. Eszerint ha egy irányítható felületre rajzolunk egy C csúcsú, E élű és L tartományú egyszerű, véges gráfot akkor
C+L-E=2-2k , ahol k a felület Euler karakterisztikája, amely egy adott felületre jellemző szám, amely független attól, hogy éppen hány lapja, csúcsa és éle van az adott felületre rajzolt gráfnak.
Egy k Euler karakterisztikájú felületet -topológiai azempontból vizsgált objektumként például úgy állíthatunk elő, hogy a gömbön vágunk k darab kör alakú lyukat, és ezeket beragasztjuk egy-egy "fogantyúval",amelynek a határvonala ugyancsak kör. Ennek a tételnek az igazolása messze túlmutat a lehetőségeinken, alkalmazása viszont nem.
Felületre rajzolt teljes gráfok
Vessük fel azt a kérdést, hogy melyek azok a felületek, amelyekre rajzolható teljes gráf.
Legyen egy ilyen gráfnak C csúcsa, E éle és L tartománya! Egy ilyen tartomány (topológiai értelemben) csak háromszög lehet, hiszen például egy négyszögtartomány átlói metszenék egymást. minden él pontosan két csúcsot köt össze és két tartományt választ el. Ebből : C (C-1)=2E és 3L=2E Így
C+C((C-1)/3 - C(C-1)/2 = 2-2k . Ebben az egyenletben C-nek és k-nak egész számnak kell lennie.
Ez különböző k érték esetén egy-egy C-re nézve másodfokú egyenletet jelent , amiből
- Ha k=0 , akkor C=4, L=4 , L=6 - ez a tetraéder gráfja.
- Ha k=1, akkor C=7, L=14, E=21 ez a tóruszra rajzolt teljes gráf. 1949 óta tudjuk, hogy ez a gráf poliéderként is realizálható, ez a Császár poliéder; 1890 óta tudjuk, hogy ennek a gráfnak a duális gráfja, az a tóruszra feszíthető gráf amelynek L=7 hatszögből álló tartománya , C= 14 olyan csúcsa van, amely mindegyikéből 3 él indul ki, így az éleinek a száma 21. 1977 óta tudjuk azt is, hogy ez a gráf ugyancsak realizálható közönséges poliéderként, ez a Szilassi-poliéder
- Ha 1<k<6 akkor a fenti egyenletből C-re nem kapunk egész értéket, azaz nincs 2, 3, 4 vagy 5 csúcsú zárt, irányított felületre rajzolható teljes gráf.
- Ha k=6 , akkor C=12, L=44 , E=66. Tehát a hat lyukú tóruszra kifeszíthető a 12 csúcsú teljes gráf, vagy ennek a duálisa, amelynek az L=12 lapja 11 oldalú sokszög , C=44 csúcsának mindegyikébe 3 él fut be és E= 66 éle van. De vajon vannak-e ilyen topológiai tulajdonságú közönséges poliéderek?
De mit is keressünk?
Lényegében olyan közönséges poliédereket, amelyek bármely két lapja szomszédos.
Tekintsünk most el sokszög és a poliéder fogalom teljes kiépítésétől, azonban tisztázzuk, mit tekinthetünk "közönséges" poliédernek.
Közönséges poliédernek nevezzük azokat a poliédereket, amelyeket
- véges sok egyszerű sokszöglap határol, vagyis a sokszög határvonala nem lehet önátmetsző;
- továbbá bármely két lapjának legfeljebb két közös csúcsa van, és ha pontosan két csúcsuk közös, akkor az ezekhez tartozó szakasz a két - szomszédosnak nevezett - lap közös éle;
- a poliéder lapjainak további közös pontjai nincsenek. Sem a sokszög határvonalán, sem a sokszög belső pontjai között. Ez a feltétel biztosítja, hogy maga a poliéderfelület ne legyen önátmetsző. Úgy is fogalmazhatjuk: ne ütközzenek a lapok egymással.
A meglepetés
Ezeket az előzményeket végig követve képet kaphatunk arról, hogy az iménti kérdés mennyire bonyolult.
A fenti Yqutube videó lényegében az ilyen 12 egymással páronként szomszédos lapból álló poliéderek kereséséről szól.
A szerző azzal próbálta egyszerűsíteni a kérdést, hogy olyan poliédert keresett, amelynek három, egymásra páronként merőleges szimmetriasíkja van. Így elegendő volt -lett volna - azt a három sokszöget megkeresni, amelyekből a három szimmetriasíkra vonatkozó tükrözéssel előáll a keresett 12 lapú poliéder.
A kérdés még ilyen egyszerűsítés mellett is óriási, szerteágazó. Ugyanis addig, a míg a k=1 Euler-karakterisztikához csak egy kombinatorikus elrendezés tartozhat, addig a k=6-hoz 59. Vagyis 59 különböző elrendezésű - egymással nem izomorf - teljes gráf feszíthető rá egy hatlyukú tóruszra. Ezek mindegyikét meg kell(ene) vizsgálni.
Ez meg is történt. Ha csak egy önátmetsző lap maradt volna, a szimmetria kapcsolatok miatt ez rögtön 4 önátmetsző lapot eredményezett volna az egész konstrukción. Ugyanígy: ha két lap "ütközött", akkor ez is négy lap-pár ütközését jelentette. Már az is szép eredménynek tekinthető, hogy sikerült ütközés mentes, de legalább 8 önátmetszést tartalmazó, vagy önátmetszés mentes, de legalább nyolc ütközést tartalmazó változatokat találni. Erről szó a videó.
Végül a szerző megpróbálkozott azzal, hogy csak egyetlen tengelyes szimmetriát szabott ki kezdő feltételként, így sikerült találnia egy olyan poliédert, amelynek lényegében egy (a tengelyes szimmetria miatt kettő) önátmetsző lapja van, és a lapok között nincs ütközés.
Ezt az eredményt itt közölte:
https://github.com/HackerPoet/NeighborlyPolyhedra/issues/3
Ennek a felhasználásával készült - az itt részletezett módon - az alábbi GeoGebra applet.
Az N-dodekéder
Az applet egy olyan tizenkét lapú poliédert - mondhatnánk: dodekaédert - mutat be, amelyben bármely két lapnak pontosan egy közös éle van.
Házi használatra nevezzük az így kapott konstrukciót N-dodekaédernek. Az N betű jelenthetné a Nem ismert, Nehéz , Neighbouring (szomszédos) szavakra is.
Az alakzat tengelyesen szimmetrikus, ezért az egymással egybevágó lapokat azonos színnel jelöltük.
A lapok láthatósága egyenként ki-be kapcsolható. Javasoljuk olvasóinknak, hogy a lapokat az önátmetszést vizsgálva egyenként, az ütközésmentességet ellenőrizve néhányat vegyenek szemügyre egyszerre.
Vegyük észre, hogy ...
- az 5. és 6. lap önátmetsző;
- ha megjelenítjük a poliéder csúcsait, lehetőségünk nyílik szemügyre venni a két nem kívánt önátmetsző pontot;
- bár a 4. és 5. lap közös éle másutt van, ezeknek van két olyan élük, amelyek metszik egymást. Ugyanez a 3. és 6. lapnál is így van. Ez is az egyetlen hiba következménye.
Az N-dodekaéder hat különböző lapja
Ha már itt tarunk ...
Pólya Görgy szerint "a módszer olyan fogás, amit kétszer alkalmazunk".
Jelen esetben azt az imént alkalmazott fogást fogjuk még egyszer alkalmazni, miszerint hasznos lehet egy poliéder alapos megismerésére az az út, hogy minden lapját külön külön megjeleníthetővé tesszük annak az érdekében hogy a lapok közötti kapcsolatot alaposabban megszemléljük.
Erre szükségünk lehet az itt már bemutatott - nem közönséges - poliéder estében is, ha azt akarjuk szemügyre venni, hogy valóban igaz-e, hogy bármely két lapja szomszédos.