Formalización de la conjetura
- Autor:
- José Luis Muñoz Casado
Estamos en condiciones de realizar un estudio de las salas poligonales que tengan forma de rastrillo. Los alumnos podrían recoger con GeoGebra, de forma sistemática, los distintos casos de salas con m=1, 2, 3, ... picos. El resultado podría sintetizarse en la tabla de la Imagen 1.
De la recogida sistemática de datos se deduce que salas poligonales tipo rastrillo de m=1 picos se corresponden con polígonos de n=3, 5, 7 lados, salas con m=2 picos se corresponden con polígonos de n=6, 7, 8 lados, y así sucesivamente.
El número de cámaras mínimo coincide con el número de picos. Un análisis de estos datos indica que dada una sala poligonal con un número de lados n=3k , el número mínimo de cámaras necesarias será dicho factor k, o lo que es lo mismo . Si se aumenta el número de lados en una o dos unidades, el número de cámaras será el mismo n/3 y no cambiará hasta conseguir el siguiente múltiplo de . De lo anterior los alumnos pueden establecer la siguiente conjetura:
El número de cámaras necesario para vigilar una sala de n lados es [n/3]
Una vez establecida la conjetura, conocida como el Teorema de la Galería de Arte, se ha de indicar al alumno que es necesario proceder a su demostración, ya que en matemáticas la comprobación de una serie de casos particulares no implica necesariamente su validez en general.