１．数列の和と∑
★見える平方数和の公式
このページは電子ブック「探求 数学B・C」の一部です。
１．等差数列
＜一般項＞
数列[a sequence, series, progression(of numbers) ]は、数が順番にならんだもの。数列の要素[Element]を項[item,term]といい、特に最初の項を初項[first term]といいます。
階差[difference ]は数列のとなりあう項の差で、階差の数列が階差数列[difference sequence]です。
等差数列（算術数列）[arithmetic sequence,progression]は階差数列が初項が同じ項が続く数列。
階差が一定の数になるときの、その一定数を公差[common defference]といいます。
ｎ番目の項[nth term]をanのようにｎという番号を添え字にして表します。
「an=f(n)」のように、ｎ番目の項がｎの式で表されるときこの式を一般項［explicit formula、general formula］といいます。
数列aは、番号添字つきのa1,a2,a3,a4,......,an,.....とか{an}のようにかきます。
geogebraでは、a={a1,a2,a3,....,an}とか、Sequence(a(k),k,1,n)のようにかきます。
初項がa、公差がdの等差数列{an}の一般項はan=a+(n-1)d
（例）
定数数列：1,1,1,1,1,1,1,1,1,.......これは階差数列が0,0,0,0,....となり、初項１公差０の等差数列。
一般項はan=1ですが、なんとかｎを使った式にするとan=(-1)2nとか、、、１＋０n。
自然数列：1,2,3,4,5,6,........これは初項１公差１のつまらない等差数列。一般項はan=n
減る数列：3,2,1,0,-1,-2,......これは初項３公差-1の等差数列。一般項はan=4-n
＜和＞
等差数列{an}があり、初項a公差ｄとします。
そのｋ番目までの部分列A{ak}は、a1=a, a2=a+d,..........., ak-1=a+(k-2)d, ak=a+(k-1)d。あとはない。
Aを逆順に並べた数列B{bk}は b1=a+(k-1)d, b2=a+(k-2)d, .............., bk-1=a+d, bk=a。あとはない。
数列AとBの同番号同士の和C{ck}=c1=c2=........=ck-1=ck=2a+(k-1)dです。
数列xのｎ番目までの和[nth Sum]をSn(x)と表すことにしよう。
Sk(C)=(2a+(k-1)d)kとなる。
Sk(C)=Sk(A)+Sk(B), Sk(A)=Sk(B)だから、
Sk(A)=Sk(C)/2=(2a+(k-1)d)k/2=(a1+b1)k/2＝(a1+ak)k/2。
したがって、等差数列{an}のｎ番目までの和は、(a1+an)n/2=
ｎth項を終項とか末項と言ったりもします。
（例）
・自然数列の和Sn＝(1+n)･n/2。
・奇数列の和Sn=(1+2n-1)･n/2=n2。
・偶数列の和Sn=(1+2n)･n/2。
＜調和数列＞
逆数が等差数列になる数列を調和数列[harmonic sequence]という。
1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,........など。
（例）
「a1=10,a7=4の調和数列anの一般項」は？
anの逆数列bn=1/anが等差数列だから、初項bn=1/10、公差(1/4-1/10)/(7-1)=(10-4)/40/6=1/40。
bn=1/10+(n-1)/40=(n+3)/40となる。だから、an=40/(n+3)
（例）
「a15+a16+a17=-2622, a99+a103=-1238となる等差数列anの一般項と和が最小となる番号n」は?
初項a,公差dとするとa16=-2622÷3=-874=a+15d, a+(98+102)/2d=-619。
これからd=(-619-(-874))/(100-15)=3。a=-874-15×3=-919。
an=-919+3(n-1)=3n-922。
a1が負でdが正だから、anが途中から正に変わる。変わる手前で和が最小。an=0の解はn=922/3=307.3333。anはn=308から正、307までは負。
だからn=307。
＜等差数列群の共通数列＞
公差ｐの等差数列{an}と公差ｑの等差数列{bn｝に共通項ｃがあると、２公差p，qの最小公倍数を公差とする等差数列{cn}ができる。
（例）
「an=3n-2, bm=7m-4の共通項でできる数列の一般項」は？
m=2,n=4のときに、an=bm=10となる。cn=10+3･7n→n=1のとき10になるので、cn=21n-11。
２．等比数列
＜一般項＞
階差の代わりに、となりあう項の商（比）an+1/anが一定な数列を等比数列[幾何数列geometric progression]といいます。この一定な比を公比[common ratio]という。
a1=a, a2=ar, a3=ar2，．．．．．
初項がa、公比がrの等比数列{an}の一般項はan=arn-1
（例）
定数数列：1,1,1,1,1,1,1,1,1,.......これはとなり、初項１公比1の等比数列。一般項はan=1n
倍々数列：1,2,4,8,16,......これは初項1公比2の等比数列。一般項はan=2n-1
半減数列：1,1/2,1/4,1/8,1/16,........これは初項1公比1/2の等比数列。一般項はan=(1/2)n-1
＜和＞
等比数列{an}があり、初項a公比rとします。
そのｋ番目までの部分列A{ak}は、a1=a, a2=ar,..........., ak-1=ar(k-2), ak=ar(k-1)。あとはない。
Aの各項をr倍した数列B{bk}は b1=ar, b2=ar2, .............., bk-1=ar(k-1), bk=ark。あとはない。
数列xのｐ番からｑ番までのｎ番目までの和をS(x、p, q)と表すことにしよう。
1番目からのときは、ｐを略す。
b1=a2, b2=a3,........,bk-1=akだから、S(A, 2, k) = S(B,1, k-1)。
S(A,k)=a1+S(A,2,k)で、S(B,k)=S(B,1,k-1)+bk
この和の差は、同じ部分が消し合うので、S(B,k)- S(A,k)=bk - a1=ark- a=a(rk-1)。
BはAのｒ倍だから、和もｒ倍となる。S(B,k)=r S(A,k)。
rが１でないときは、
この２つから、(r-1)S(A,k)=a(rk-1)となるので、S=(rと１の大小関係で使い分ける）
r=1のときは、a1=a2=.......=ak=aの定数数列だから、S(an)=na
（別解）
等比数列(初項a, 公比r)のn番目までの和Snをnけたr進数aaa...a(r)とみなすことにする。
rSnはSnの１左シフトでn+1けたのaaaa...a0(r)となる。その差はa000....0(r)-a(r)となる。
これから、差はSn(r-1)=a(rn-1)となり、Sn=a(rn-1)/(r-1)
(例）
定数数列：1,1,1,1,1,1,1,1,1,.......一般項はan=1, ｎ番目までの和はSn＝n
倍々数列：1,2,4,8,16,......一般項はan=2n-1。ｎ番目までの和はSn=(2n-1)/(2-1)=2n--1
半減数列：1,1/2,1/4,1/8,1/16,........一般項はan=(1/2)n-1。Sn=(1-(1/2)n)/(1-1/2)=2(1-(1/2)n)
（例）
「負の数a,正の数bがあるとき、a,b,abの順列の中に等差数列と等比数列があるaの値」は？
abが負だから、負、正、負の順にしたときに、公比がマイナスの等比数列になりうる。
等比数列の第2項はbだから、b2=a・abとなる。bが非ゼロだから、b=a2となる。
等差数列になるとき、第2項は３項の平均になるが、bは最大だからｂではない。
だから、2ab=a+bか、2a=ab+bとなる。つまり、(2a-1)a2=aか、2a=(a+1)a2。
aが非ゼロなので、(2a-1)a=1か、2=(a+1)aとなる。
だから、2a2-a-1=(2a+1)(a-1)=0か、a2+a-2=(a+2)(a-1)=0の負の解で、a=-1/2,-2。bはこの２乗。
３．∑の性質
＜シグマは和＞
∑（シグマ）という文字はギリシャ文字で、Sに相当します。Sは総和[Summaiton,Sum]の頭文字です。an={1,2,3,4,5}のとき、
、のように、
番号変数としてはｎではなく、ｋを使うことが多いです。
シグマ記号の使い方の基本は番号変数の初期値を下にかき、番号の終端を上にかきます。
シグマ記号のあとには数列の一般項（または番号変数つきの名前）を書きます。
番号変数をｋにしておけば、番号の終端値にｎと書けばよいのです。
※geogebaraでは、Sum(ak, 1,5), Sum(k,1,5)のように関数型でシグマを表すことができます。
＜シグマは線形＞
∑はたし算する関数なので、定数倍と和差を∑の外に出せます。これを線形[linear]性といいます。線形性を利用すると、∑の基本公式が計算できます。
＜シグマと階差数列の和＞
{an}の階差数列をbn=an+1-anとする。
nが２以上ならan=a1+(b1+b2+.....+bn-1)=
「{an}の一般項＝初項＋階差数列のn-1番目までの和」
となる。
言い換えると、an+1＝a1＋階差数列bnのn番目までの和となるから、
階差数列bnのn番目までの和＝an+1ーa1
（例）
「a1=3, 階差数列bn=an+1-anとするとき、bn={2,7,12,17,...｝のときbnとanの一般項」は？
bn=2+5(n-1)=5n-3。an=a1+∑n-1bn=3+5∑n-1k-3∑n-11=3+5(n-1)n/2-3(n-1)1=(5n2-11n+12)/2
（例）
「a1=1, 階差数列bn=an+1-anとするとき、bn={1,-3,9,-27,...｝のときbnとanの一般項」は？
bn=(-3)n-1。an=a1+∑n-1bn=1+∑n-1(-3)n-1=1+1(1-(-3)n-1)/(1-(-3))=(5-(-3)n-1)/4
見える階差数列
４．∑と基本公式
＜シグマの基本公式１＞
整数nから連続するk個の積n(n+1)....(n+k-1)をS(n,k)とすると、
∑S(n,k)=S(n,k+1)/(k+1)
（理由）
an=S(n,k),bn=S(n,k+1)とすると、
an=n(n+1)....(n+k-1)=n(n+1)....(n+k-1)(k+1)/(k+1)=n(n+1)....(n+k-1)(n+k-(n-1))/(k+1)
=n(n+1)....(n+k-1)(n+k)/(k+1)-(n-1)n(n+1)....(n+k-1)/(k+1)=(bn-bn-1)/(k+1)
だから、∑an=1/(k+1)∑(bk-bk-1)=1/(k+1)(bn-bn-1+bn-1-bn-2+.....+b1-b0)=bn/(k+1)
つまり、∑S(n,k)=S(n,k+1)/(k+1)
（例）
∑n=n(n+1)/2
∑n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
∑n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)/4
∑n(n+1)(n+2)(n+3)=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)/5
∑n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)/6
...............
＜シグマの基本公式２＞
とおくと、基本公式１と線形性を使って、S1,S2,S3,S4を求められます。
S1= 、S2=、S3=、
S4=
（理由）
基本公式１の左辺を展開するとS
・∑n(n+1)=S2+S1=n(n+1)(n+2)/3となる。これから、
S2=
・∑n(n+1)(n+2)=S3+(3S2+2S1)=n(n+1)(n+2)(n+3)/4となる。これから、
S3=
= =(S1)2
・∑n(n+1)(n+2)(n+3)=S4+(6S3+11S2+6S1)=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)/5となる。これから、
S4=
=
=
= （因数定理。f(n)=6n3+9n2+n-1としたとき、f(-1/2)=0となるから）
（例）「」をｎの式で表すと？
番号変数を１開始、ｎ終了にそろえて、線形性を利用しよう。
=2n2+4n
（例）「」をｎの式で表すと？
2ｎが偶数だから、２項セットにしてみよう。
=
（例）
「１からｎまでの整数から選んだ２数の積の和をｎの式で求めたい。
（１）異なる２数の積和（２）連続する２数の積和（３）連続しない２数の積和」は？
（１）N＝１からｎまでの和の式。Nの２乗＝∑（２×異なる２数積）＋∑平方数となる。
∑平方数=n(n+1)(2n+1)/６、Nの２乗＝(n(n+1)/2)2から、逆算する。
（２）∑n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3だから、
（３）（１）ー（２）から、