Icosaedro regular

Se trata de un sólido platónico, poliedro regular convexo, con 20 caras triángulos equiláteros, que concurren 5 en cada uno de sus 12 vértices, unidos por 30 aristas. Es el dual del dodecaedro. Tiene 6 ejes de simetría pentagonal, correspondientes a cada par de vértices opuestos, 10 ejes trigonales que pasan por los centros de cada par de caras opuestas, y 15 ejes digonales que pasan por los centros de cada par de aristas opuestas. Igualmente tiene 15 planos de simetría que contienen a un para de aristas opuestas. Cada uno de estos pares de aristas definen un rectángulo áureo de dimensiones a y 2ρ = φa. Hay cinco grupos de tres de estos rectángulos mutuamente perpendiculares, que se cortan en el centro del icosaedro, que es el centro de simetría del sólido. Para calcular su volumen se puede calcular el de las pirámides que tienen vértice en su centro y base cada una de sus caras. Para hallar la altura de estas pirámides, radio r de la esfera inscrita, se toma una sección por el plano medio de dos vértices opuestos, que corta a 10 aristas en su punto medio, formando un decágono regular. El radio ρ de este decágono, es el radio de la esfera tangente a las aristas del icosaedro.
Alternativamente, el icosaedro se puede considerar formado por un antiprisma pentagonal, cuyo volumen se calcula fácilmente mediante la fórmula del Prismatoide, y dos pirámides pentagonales.