Razones trigonométricas y segmentos trigonométricos en cuadrante I

Razones trigonométricas y circunferencia unitaria Circunferencia unitaria, también llamada cricunferencia trigonométrica, es una circunferencia que tiene como radio la unidad y como centro el origen del sistema de coordenadas: . Todo punto P(x, y) que cumpla esta ecuación, pertenece a la circunferencia. Es decir que y también, . En la circunferencia unitaria, los ejes X y Y la divide en cuatro porciones del plano, llamados cuadrantes Ángulo en posición normal es un ángulo que se dibuja en un plano cartesiano y cumple tres condiciones: - El vértice coincide con el origen del sistema cartesiano. - El lado inicial coincide con el semieje positivo de X. La amplitud del ángulo se mide desde el lado inicial. - El lado terminal queda ubicado en cualquier región del plano: - Si el ángulo está entre 0 y radianes o 0° y 90°, el lado terminal está en el cuadrante I - Si el ángulo está entre y /2 radianes o 90° y 180°, el lado terminal está en el cuadrante II - Si el ángulo está entre y radianes o 180° y 270°, el lado terminal está en el cuadrante III - Si el ángulo está entre y radianes o 270° y 360°, el lado terminal está en el cuadrante IV Un ángulo en posición normal es positivo cuando su amplitud se mide en sentido contrario a las manecillas del reloj. Si se mide en el mismo sentido de las manecillas del reloj el ángulo es negativo. Segmentos trigonométricos en la circunferencia unitaria y gráfica en el primer cuadrante A continuación se presentan 3 applets con similares caraterísticas. En el primero se tiene seno y coseno; en el segundo, tangente y cotangente y en el tercero, secante y cosecante. En cada applet: - Active la circunferencia unitaria y muestre el plano cartesiano. Se observa que el vértice B del triángulo rectángulo ABC coincide con el centro de la circunferencia. La circunferencia se ha traslado una unidad hacia la izquierda con fines didácticos. - El valor del ángulo en grados se obtiene con el deslizador o digitando en la casilla de entrada. Automáticamente muestra la equivalencia en radianes. - Active cada segmento trigonométrico. Se resalta el segmento y se muestra la definición y la fórmula con respecto al triángulo que se referencia. El segmento c o BA mide la unidad por definición de circunferencia unitaria. - Active la tabla de valores. Para visualizar la gráfica: - Active la razón trigonométrica - Active el rastro. Se muestra el segmento OE y un punto en el plano que deja su rastro o huella en el plano. El segmento OE equivale a la medida del ángulo en radianes. La ordenada del punto corresponde al valor de la razón para ese ángulo. Cada rastro se puede desactivar y/o borrar. Gráfica de seno y coseno en el primer cuadrante por segmentos trigonométricos Algunas conclusiones: - El punto A tiene por coordenadas (a, b). Aplicando seno y coseno del ángulo B en el triángulo ABC, como c = 1, entonces el lado a (adyacente) corresponde a y el lado b (opuesto) corresponde a . Por lo tanto, las coordenadas de A son (, ). AC es el segmento seno y BC es segmento coseno de . - Dado que en el triángulo original ABC, la hipotenusa es la unidad; el cateto opuesto es y el cateto adyacente es , se pueden obtener otras fórmulas, llamadas identidades trigonométricas: - En la tabla de valores se observa que y mientras que y - Gráfica de : El punto A' es una imagen del punto A. El segmento OE es el ángulo en radianes y la distancia EA' es el valor de . Así por ejemplo, . Eso significa que la distancia EA' mide 0.642787. El rastro que deja el punto A' al variar el ángulo, es la gráfica de seno en el primer cuadrante. Es creciente, comienza en 0, () y termina en 1, (). - Gráfica de : El punto C' es una imagen del punto C1 que a su vez es imagen del punto C. Por lo tanto . C1 se obtiene por la rotación +90° de C sobre B, con el objeto de convertir el cateto a en dirección vertical. El rastro que deja el punto C' al variar el ángulo, es la gráfica de coseno en el primer cuadrante. Es decreciente, comienza en 1 y termina en 0. - En las gráficas, los puntos A' y C' coinciden cuando o . Esto significa que .
Gráfica de tangente y cotangente en el primer cuadrante por segmentos trigonométricos Segmento trigonométrico tangente. El triángulo de referencia es BOD en el cual el cateto adyacente de es OB, que es el radio de la circunferencia unitaria y el cateto opuesto es OD. En consecuencia, OD es el segmento tangente del ángulo . Segmento trigonométrico cotangente. El triángulo de referencia es BFG. El ángulo OBD es congruente con el ángulo FGB por ser alternos internos entre paralelas. En ese triángulo (BFG), el segmento BF es opuesto al ángulo y FG es el adyacente. Por lo tanto, FG es el segmento cotangente de . Gráfica de : - El punto D' es una imagen del punto D. La distancia ED' es la tangente del ángulo - El rastro que deja el punto D' al variar el ángulo, es la gráfica de tangente en el primer cuadrante. Es creciente, comienza en 0 y crece indefinidamente porque no está definida: Gráfica de : - El punto G' es una imagen de G después de rotar el segmento FG +90° y trasladarlo al punto E, para que FG quede en posición vertical. La distancia EG' es la cotangente del ángulo . - El rastro que deja el punto G' al variar el ángulo, es la gráfica de cotangente en el primer cuadrante. Es decreciente, comienza en y decrece hasta llegar a 0. Cotangente de cero no está definida: - Dado que seno y coseno coinciden cuando el ángulo es 45°, se puede concluir que y las dos gráficas coinciden en ese punto, (, 1).
Gráfica de secante y cosecante en el primer cuadrante por segmentos trigonométricos Segmento trigonométrico secante. El triángulo de referencia es ABH en el cual la hipotenusa es BH y el cateto adyacente de es AB que corresponde al radio de la circunferencia unitaria. Por lo tanto, BH es el segmento secante del ángulo . Segmento trigonométrico cosecante. El triángulo de referencia es BAM. El ángulo ABH es congruente con el ángulo AMB porque los lados son respectivamente perpendiculares. En ese triángulo (ABH), BM es la hipotenusa y AB es el cateto opuesto al ángulo. Por lo tanto, BM es el segmento cosecante del ángulo . Gráfica de : - El punto H' es una imagen de H después de rotar el segmento BH +90° y trasladarlo al punto E de tal manera que BH quede en posición vertical. La distancia EH' es la secante del ángulo . - El rastro que deja el punto H' al variar el ángulo, es la gráfica de secante en el primer cuadrante. Es creciente, comienza en 1 y crece indefinidamente porque no está definida porque Gráfica de : - El punto M' es una imagen de M después de trasladar BM al punto E. La distancia EM' es la cosecante del ángulo . - El rastro que deja el punto M' al variar el ángulo, es la gráfica de cosecante en el primer cuadrante. Es creciente, comienza en y decrece hasta llegar a 1. Cosecante de cero no está definida porque Así como en las secciones anteriores se concluyó que sen(45°) = cos(45°) y que tan(45°) = cot(45°), también se puede concluir que sec(45°) = csc(45°). Esto se debe a que si un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 45°, el triángulo es isósceles y por lo tanto sus dos catetos son congruentes. Recuerde que 45° = rad.