Google Classroom
GeoGebraGeoGebra Classroom
GeoGebra

Grupo afín

Autor:
Rafael Losada Liste
Tema(s):
Vectores 2D (Bidimensionales), Álgebra, Coordenadas, Geometría, Matrices, Figuras planas o Formas, Transformación de semejanza o Semejanza, Transformacionse geométricas, Vectores
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Cambio de sistema de referencia. Comando GeoGebra asociado: AplicaMatriz Hemos visto que las coordenadas homogéneas de un punto P' con las misma coordenadas que P, pero referenciadas a un sistema de referencia {O, a, b} vienen dadas por:

P' = T P

donde T es la matriz ampliada:

T=

Si llamamos T' a la matriz inversa de T (sabemos que existe porque su determinante es el mismo que el de M, que era invertible), podemos expresar las coordenadas de P en función de las coordenadas de P':

P = T' P'

Gracias a la correspondencia entre transformaciones y matrices, resulta fácil ver que las transformaciones afines invertibles del plano constituyen un grupo, denominado grupo afín, es decir:
  • Al componer dos transformaciones se obtiene una nueva transformación. La composición de dos transformaciones T1 y T2, es decir, su aplicación ordenada y sucesiva, da como resultado la transformación cuya matriz es el producto de ambas, T = T2 T1:

P' = T1 P, P'' = T2 P' P'' = T2 T1 P

  • Existe una transformación (la identidad) que al componerla con otra no la altera. La transformación identidad corresponde a la matriz identidad de orden 3.
  • Toda transformación tiene una transformación inversa (aquella que al componerla con la primera da la identidad). La transformación inversa de T corresponde a la matriz T', la matriz inversa de T.
Esto quiere decir que da igual cuántas transformaciones afines invertibles sucesivas apliquemos y de que tipo sean: el resultado final será equivalente a aplicar una sola transformación afín, que además es reversible (invertible). Por lo tanto, también quiere decir que da igual cuántos cambios de sistema de referencia realicemos consecutivamente, el resultado final será equivalente a aplicar un solo cambio. El grupo afín no es conmutativo, pues el orden de la composición (el producto de matrices) es, en general, importante. Esto significa que, al componer dos transformaciones T1 y T2 cualesquiera, el resultado puede ser diferente dependiendo del orden en que las apliquemos. Solo cuando las correspondientes matrices T1 y T2 sean conmutables obtendremos el mismo resultado.
Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.

Nuevos recursos

Descubrir recursos

Descubre los temas