Symmetrieverhalten ganzrationaler Funktionen
In dieser Zeichnung kannst du die Symmetrie bei ganzrationalen Funktionen verschiedenen Grades untersuchen.
Du kannst die höchste Pozenz beim obersten Schieberegler einstellen. Die Schieberegler darunter, bestimmten die Faktoren (Koeffizienten) vor den Potenzen. Zusätzlich gibt es die Möglichkeit die Symmetrie zu überprüfen, indem der Funktionsgraph an dem eingeblendeten Symmetrie-Punkt bzw. Symmetrie-Achse (auswählbar) gespiegelt werden. Bei eingeschaltetem Symmetrietest kann man den Symmetriepunkt und die Achse verschieben. Zusätzlich gibt es noch die Möglichkeit einen Punkt einzublenden, der dann ebenfalls gespiegelt wird.
Zur Erinnerung:
Der Funktionsgraph ist symmetrisch, wenn er auf sich selber abgebildet wird. D.h. das in dieser Zeichnung der orangene Graph wieder auf dem blauen, ursprünglichen Graph liegen muss.
Anders ausgedrückt: Wenn ihr entlang der Symmetrie-Achse (y-Achse oder entlang der Diagonale durch den Ursprung mit ) einen Spiegel anlegt, dann erhaltet ihr den Graph "auf der anderen Seite".
Formal ausgedrückt: eine Funktion ist symmetrisch zur y-Achse, wenn für alle folgendes gilt: . Beispielhaft gilt dies für , da .
Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn für alle folgendes gilt:
. Beispielhaft gilt dies für , da .
In der tabellarischen Übersicht zu den Potenzfunktionen hatten wir für gerade und ungerade Exponenten bereits die Symmetrieregeln erarbeitet.
Ziel der Untersuchungen mithilfe dieses GeoGebra-Applets ist es zu erkennen, ob und welche ganzrationalen Funktionen symmetrisch sind. Dabei sollen ganzrationale Funktionen mit einem bestimmten Grad jeweils für sich betrachtet werden.
Untersuche daher bitte Folgendes:
- Kannst du Bedingungen finden, damit ganzrationale Funktionen vom Höchstgrad ("höchster Exponent an ") symmetrisch sind?
- Abhängig von diesen Bedingungen und dem Höchstgrad: Welche Art der Symmetrie liegt vor?