Desafío 3. La clave del cálculo integral: la tabla de integrales
Vamos a abordar el cálculo de integrales
Seguimos aquí, avanzando de la mano con el desarrollo histórico de las herramientas de cálculo, accediendo a elementos interesantes del nacimiento de los métodos de integración que conocemos. Es muy importante entender que el desarrollo histórico del cálculo integral, no sólo se diferencia del desarrollo lógico (de conceptos sencillos a conceptos más elaborados) aprendido en nuestra vida escolar y universitaria, sino que además, siempre su comienzo se vio envuelto en una especia de "informalidad", basada en algunas intuiciones, algunas corazonadas y algo de atrevimiento y valentía. Después, pues venía la necesidad de dejar todo en orden, todo formal, pero ese era otro problema.
Por ejemplo, muchos matemáticos (Fermat fue uno), ya manejaban las ideas del cálculo integral a partir de un enfoque "inverso" del cálculo diferencial. Gregorius van St-Vincent, un matemático flamenco del siglo XVII ya manejaba expresiones integrales definidas, y tenía ciertas intuiciones sobre la función:
De la que sabía, debería cumplir con la condición:
(Toeplitz, 1963, p. 95).
Pero, a pesar de todos estos aciertos, la noción de integral definida, aparecerá en 1667, cuando Isaac Barrow enuncie un Teorema Fundamental:
Este maravilloso resultado dejó así establecida la relación directa entre cálculo integral y el cálculo diferencial.
Y con respecto a este señor, ¿sabían que, al margen de la disputa entre Newton y Leibniz sobre el descubrimiento del cálculo, para muchos es Isaac Barrow el verdadero descubridor?
Bien, sigamos adelante.
Vamos a trabajar en un orden discursivo que nos ayude a organizar tres principales métodos (uso de fórmulas, sustitución e integración por partes). El primer momento es, el de las tablas de integrales. Copio algunas fórmulas, las cuales pueden conseguirse en la red o en libros de cálculo:
Una tabla de integrales, no sólo nos indica la antiderivada de determinados casos, organizada de acuerdo a un esquema determinado de funciones algebraicas y trascendentes, sino que además, nos sugiere una inmensa cantidad de variantes, un amplísimo marco de posibles soluciones, que aparecen ante nuestra vista, apenas entendemos el significado del esquema funcional:
Poder pensar en la expresión del integrando de arriba y entenderla, nos pondrá a la vista como el paso del método de integrales inmediatas (uso de tablas), al siguiente en orden, el método de u-sustitución, o simplemente, método de sustitución, es natural; y sólo puede complicarse por la imposibilidad didáctica de conectar el alcance de una tabla de integrales con un nivel de abstracción mayor, el método de resolución por sustitución, es consecuencia lógica de entender a la tabla de integrales como un lenguaje de segundo orden, no una fórmula de casos específicos, sino como un esquema de fórmulas.
Para avanzar al siguiente método, el de integración por partes, es sabido que proviene de la fórmula para derivar el producto de dos funciones diferenciables. La fórmula es así:
Transformación que nos arroja, en determinados casos, integrales que pueden resolverse con simples sustituciones o, en otros casos, recursiones de la aplicación de la fórmula que nos llevan a ecuaciones de sencilla separación de la integral incógnita.
- Toeplitz, O. (1963). The Calculus. A Genetic Approach. Chicago: The University of Chicago Press.
De la que sabía, debería cumplir con la condición:
(Toeplitz, 1963, p. 95).
Pero, a pesar de todos estos aciertos, la noción de integral definida, aparecerá en 1667, cuando Isaac Barrow enuncie un Teorema Fundamental:
Este maravilloso resultado dejó así establecida la relación directa entre cálculo integral y el cálculo diferencial.
Y con respecto a este señor, ¿sabían que, al margen de la disputa entre Newton y Leibniz sobre el descubrimiento del cálculo, para muchos es Isaac Barrow el verdadero descubridor?
Bien, sigamos adelante.
Vamos a trabajar en un orden discursivo que nos ayude a organizar tres principales métodos (uso de fórmulas, sustitución e integración por partes). El primer momento es, el de las tablas de integrales. Copio algunas fórmulas, las cuales pueden conseguirse en la red o en libros de cálculo:
Una tabla de integrales, no sólo nos indica la antiderivada de determinados casos, organizada de acuerdo a un esquema determinado de funciones algebraicas y trascendentes, sino que además, nos sugiere una inmensa cantidad de variantes, un amplísimo marco de posibles soluciones, que aparecen ante nuestra vista, apenas entendemos el significado del esquema funcional:
Poder pensar en la expresión del integrando de arriba y entenderla, nos pondrá a la vista como el paso del método de integrales inmediatas (uso de tablas), al siguiente en orden, el método de u-sustitución, o simplemente, método de sustitución, es natural; y sólo puede complicarse por la imposibilidad didáctica de conectar el alcance de una tabla de integrales con un nivel de abstracción mayor, el método de resolución por sustitución, es consecuencia lógica de entender a la tabla de integrales como un lenguaje de segundo orden, no una fórmula de casos específicos, sino como un esquema de fórmulas.
Para avanzar al siguiente método, el de integración por partes, es sabido que proviene de la fórmula para derivar el producto de dos funciones diferenciables. La fórmula es así:
Transformación que nos arroja, en determinados casos, integrales que pueden resolverse con simples sustituciones o, en otros casos, recursiones de la aplicación de la fórmula que nos llevan a ecuaciones de sencilla separación de la integral incógnita.
- Toeplitz, O. (1963). The Calculus. A Genetic Approach. Chicago: The University of Chicago Press.
¿Cómo podríamos abordar este tema usando las cualidades algebraicas y dinámicas de Geogebra?
En este applet, seleccionamos unas fórmulas sacadas de una tabla de integrales, y construimos la siguiente intencionalidad de interacción:
1. Seleccionas la fórmula.
2. Escribes una función en la casilla de ingreso.
3. El applet te muestra un "desarrollo algebraico" que va, desde la fórmula, pasando por la
directa sustitución de la función ingresada y su derivada (Geogebra la calcula), el desarrollo
de unas operaciones, hasta la solución de la integral.
4. Con esa misma función ingresada, puedes seleccionar otras fórmulas.
El planteamiento de fondo, busca poner en evidencia como, teniendo en mente a la composición de funciones, podemos extender el alcance de la utilidad de las tablas de integrales, entendiéndolas, no como soluciones particulares de casos, sino como esquemas abstractos de solución, por eso hemos señalado que las tablas de integrales son un "discurso meta-matemático", es decir, como un lenguaje de segundo orden, que no habla de objetos (integrales), sino de relaciones entre objetos.
Esto que mencionamos arriba, lejos de ser un preciosismo lógico, busca acusar el mal empleo de las tablas de integrales, en la generalidad de los casos; aunado esto a la situación actual, que hemos denominado "Segunda Oleada Tecnológico Didáctica" (Millán Arteaga, 2018), donde los dispositivos móviles tienen acceso a potentes graficadores y aplicaciones de resolución de determinado tipo de problemas, donde inclusive "sugieren" los pasos de cálculo. Lejos de pensar que la solución y salida de este problema está en la prohibición del uso de los dispositivos, no sólo alentamos a su uso, sino que además, estamos convencidos, que es una situación que sólo se superará a partir de una profunda crítica y objeción de nuestras prácticas tradicionales.
- Millán Arteaga, L. E. (16 de Mayo de 2018). Researchgate.net. Recuperado el 15 de Febrero de
2021, de https://www.researchgate.net/publication/325180440_LA_INTEGRACION_POR_SUBSTITUCION_
DESDE_UNA_PERSPECTIVA_GEOMETRICA_UN_INTERESANTE_CASO_DESDE_LA_PLATAFORMA_G
EOGEBRA_EN_PLENA_SEGUNDA_OLEADA_TECNOLOGICO-DIDACTICA
Una opción que hemos asumido en nuestras clases, es pedirles a los estudiantes que vayan más allá del cálculo de la integral... Motivando un pequeño "sobreesfuerzo" algebraico...
Por ejemplo, en este applet, donde los planteamientos se resuelven usando el método de integración por partes, les pedimos que lleguen al resultado que sugiere Geogebra.
En este tema, te planteamos el siguiente desafío
Con respecto al lugar didáctico del applet. ¿En qué situación te imaginas que el applet presentado podría estar? Es decir, ¿en qué entorno problemático para tus estudiantes situarías este applet?
Con respecto al diseño del applet. Seguramente la pregunta anterior puso en evidencia algunas información que el applet no muestra (o algunas que ocultarías), al respecto te pregunto: ¿Qué modificarías del applet?
Respecto al saber vinculado al applet. Te hago tres preguntas que surgen de la manipulación del applet: a. ¿Qué queremos señalar cuando decimos que "el paso del método de integrales inmediatas (uso de tablas), al siguiente en orden, el método de u-sustitución, o simplemente, método de sustitución, es natural"? b. Ante la existencia de infinidad de aplicaciones de celular que resuelven integrales indefinidas y definidas, explicando inclusive los pasos de resolución, ¿cómo podemos responder a esta realidad? Propón una actividad corta en la que las aplicaciones puedan ser integradas, ¿se te ocurre alguna? c. La experiencia, es decir, la resolución de una suficiente cantidad de problemas, según nuestro parecer, es la única forma de sintetizar los métodos bajo un esquema de comprensión amplio. ¿Podrías, según tu experiencia, identificar alguna regularidad para clasificar en casos a las integrales que se resuelven por el método por partes?