Partage en trois d'une diagonale du cube
Deux triangles équilatéraux, chacun formé par trois diagonales de faces concourantes du cube.
Orthogonalité : plans et droite orthogonaux dans le cube.
On considère un cube ABCDEFGH, d'arête de longueur a (a réel strictement positif).
Soit I le point d'intersection de la droite (EC) et du plan (AFH).
La droite (AF) perpendiculaire à deux côtés du triangle BCE est perpendiculaire au plan (BCE) et en particulier à la droite (EC).
De même, la droite (FH) perpendiculaire à deux côtés du triangle CEG est perpendiculaire au plan (CEG) et en particulier à la droite (EC).
(EC) perpendiculaire aux deux droites concourantes (AF) et (FH) est perpendiculaire au plan (AFH).
Généralisation
(EC) grande diagonale du cube est orthogonale aux plans (AFH) et (BDG). Ces deux plans sont parallèles.
La droite (EC) perce les triangles équilatéraux AFH et BDG en leurs centres I et J.
EI = IJ = JC.
Voir aussi : un seul triangle équilatéral formé par trois diagonales de faces concourantes du cube
Descartes et les Mathématiques
La géométrie dans l'espace en terminale S à l'épreuve pratique de mathématiques