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放物線の外接三角形の極線は重心を通ることの証明

1か月と少しかかってしまったけど、やっと証明できた。

証明の道筋

①準線と垂線の定理 ⇒垂線上の点の極線は平行 ⇒接点の垂線 ②逆中点三角形の頂点が極線上にある ⇒①からいえる ③極Pの極線はHとEを通る ⇒ポンスレの定理より ④重心Gの極線がKとLを通る ⇒同上 ⑤△A’QG∽△ABGの証明 ⇒内分と外分の比から(CQ=CK)  二辺の比とその間の角がそれぞれ等しいから ⑥相似なので∠A’GQ=∠AGEなのでH,G,Eが一直線上にある ⑦よってPの極線はGを通る

⑤の証明

△A'QGと△ABGについて  (QはEHとA'B'の交点とする) ∠QA'G=BEG A'G:GA=2:1 ここでA’QとAEの比を求める。 △CMBでDを極とすると、内分と外分だから BH:HC=BN:CN △NBEについてAC//EBより、BN:CN=BE:CK よって、BH:CH=BE:CK △CQHと△BEHについて、CH:BH=CQ:BE よって、CQ:BE=CK:BE となるので、CQ=CK 次に、AE=1とすると、B'K=2 B'K=A'Q=2となるので、A’Q:AE=2:1となる。 よって、二辺の比とその間の角が等しいので、 △A'QG∽ABGとなり、∠QGA'=∠EGAなので、Q,G,Eは一直線上にある。 つまりPの極線はGを通る。(証明終わり)