Tétraèdre ayant deux hauteurs concourantes
Si deux hauteurs sont concourantes, l'arête qui joint les deux sommets, d'où sont issues les hauteurs, est orthogonale à l'arête opposée.
Soit ABCD un tétraèdre non plat. On projette orthogonalement les sommets A et B sur les faces opposées ; on obtient respectivement les points H, P.
Si les deux hauteurs (AH) et (BP) sont concourantes en I, alors les arêtes (AB) et (CD) sont orthogonales.
Construction de cette figure
On place deux points A et H dans le plan xOy.
Sur la perpendiculaire (h) à ce plan, on place deux points A et I.
Le plan passant par A, perpendiculaire à (BI) coupe xOy selon la droite (d).
On place deux point C et D sur (d).
ABCD est un tétraèdre avec deux hauteurs concourantes : l'arête (AB) qui joint les sommets est orthogonale à l'arête opposée (CD).
Démonstration
En effet, les droites (AP) et (BH), situées dans le plan (ABI), se coupent en A’. Comme (AP) est sur la face (ACD) et (BH) sur la face (BCD), le point A’ appartient à la droite (CD) intersection de ces deux plans.
(AH) étant perpendiculaire au plan (BCD), le plan (ABA’) qui contient (AH) est perpendiculaire au plan (BCD).
De même, la droite (BP) étant perpendiculaire au plan (ACD), le plan (ABA’) qui contient (BP) est perpendiculaire au plan (ACD).
Le plan (ABA’), perpendiculaire aux deux plans (BCD) et (ACD), est perpendiculaire à leur intersection, la droite (CD).
La droite (AB) contenue dans le plan (ABA’) est orthogonale à (CD).
Réciproquement, si les arêtes (AB) et (CD) sont orthogonales, alors les hauteurs (AH) et (BP) sont concourantes.
Voir : Descartes et les Mathématiques : tétraèdre avec GeoGebra 3D