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Derivata di una funzione

Autore:
ellebi
Argomento:
Analisi, Derivata
La curva in blu è il grafico della funzione f(x) indicata sul foglio. Sotto il grafico: attività in dettaglio. Muovendo il punto xP sull'asse delle X (selezionalo e usa le frecce/mouse) puoi spostare il punto P sulla curva; le coordinate del punto P sono indicate sul foglio. Selezionata secante, puoi modificare la posizione del secondo punto variando l'incremento h. Puoi cambiare la funzione da rappresentare: scrivi f(x) = <espressione> nella cella d'inserimento in basso. Utilizzando il menù contestuale (click destro sul foglio) puoi spostare la regione rappresentata e zoomare la figura.
Attività: [0] Muovi il punto xP e osserva l'andamento del punto P. Selezionando l'opzione "secante" in verde, verrà verrà mostrata la retta secante la curva passante per i punti P e P+h, la cui ascissa differisce della quantità h selezionabile con lo slider che apparirà a lato. L'equazione della secante apparirà a lato (sempre in verde). Attività [con "secante" selezionata]: [1] Variando la posizione del punto P, muovi lo slider h e osserva la direzione della secante, in particolare quando h, per valori positivi o negativi, si avvicina allo zero. Selezionando l'opzione "tangente" in rosso, verrà mostrata la tangente alla curva (sempre in rosso) nel punto P e, a lato della casella, la sua equazione. Il coefficiente angolare della tangente nel punto P è il valore della derivata della funzione f(x) nel punto di ascissa xP. Attività [con "tangente" selezionata]: [2] Attivando anche l'opzione "secante", controlla che per h tendente a zero, sia per valori positivi che per valori negativi, la secante tende a coincidere con la tangente nel punto P. [3] (disattiva l'opzione "secante") Muovi il punto P e controlla la pendenza della tangente (angolo con l'asse x acuto/ottuso) ovvero il segno del suo coefficiente angolare m (v. l'equazione): dove m > 0 la funzione è crescente, dove m < 0 la funzione è decrescente, dove m=0 si ha un punto di stazionarietà, in cui la tangente è orizzontale. Selezionando l'opzione "grafico derivata" apparirà il grafico della derivata prima della funzione f(x), in colore nero. Attività [con le opzioni "grafico derivata" e "tangente" selezionate]: [4] Muovi il punto P e controlla la relazione tra segno della derivata (v. grafico in nero o il coefficiente angolare della tangente), la pendenza della tangente (v. angolo con l'asse X) e l'andamento della curva (crescente/decrescente): negli intervalli in cui il grafico della derivata si trova nel semipiano inferiore (valori negativi) la funzione è decrescente mentre in quelli in cui la derivata ha segno positivo la funzione è crescente; nei punti in cui la derivata è nulla si possono avere massimi/minimi relativi oppure punti di flesso (con tangente sempe orizzontale). [5] Muovendo il punto P in corrispondenza dei massimi o dei minimi della funzione, controlla la relazione tra annullamento della derivata prima e presenza di massimi/minimi. Selezionando l'opzione "punti stazionari", appariranno: 1)uno slider per variare il numero n che individua un punto stazionario (in cui la derivata è nulla); 2) le coordinate del punto stazionario selezionato con lo slider; 3) il punto stazionario selezionato Pstz e la sua proiezione xPstz sull'asse X con relativa tangente (orizzontale). NB: muovendo lo slider n possono possono dei punti stazionari: continua a muovere lo slider per mostrare tutti gli eventuali punti stazionari. Attività [con le opzioni "tangente", "grafico derivata" e "punti stazionari" selezionate]: [6] Controlla la relazione pendenza della tangente e massimi/minimi relativi nei punti di stazionarietà (muovi P). Per cambiare anche la funzione considerata, scrivi la sua espressione analitica nella casella Inserimento in fondo al grafico, attenendoti a queste regole: - inizia sempre con "f(x) =" (senza virgolette, ad es. f(x) = 3 x^4 -2 x^2) - metti uno spazio per indicare un prodotto (ad es: f(x) = 3 x non f(x) = 3x) - indica con ^ l'elevamento a potenza (ad es. f(x) = x^3 - 4 x^2) - utilizza le parentesi tonde quando dividi un'espressione per un'altra (ad es: f(x)=(2 x +1)/(3 x) ) - per le funzioni trascendenti utilizza le seguenti forme (gli argomenti vanno sempre scritti tra parentesi tonde) : log(x) [logaritmo in base 10], sin(x), cos(x), tan(x)