Globalverhalten ganzrationaler Funktionen
Im Koordinatensystem werden jeweils die Graphen von zwei reellen Funktionen dargestellt. Dabei ist f eine ganzrationale Funktion, g ist eine Potenzfunktion.
a) Vergleiche die Funktionsterme sowie den Verlauf der Funktionen miteinander.
b) Vergrößere die Skalierung der beiden Achsen, so dass man beide Graphen noch erkennen kann, sie also keine der beiden Achsen vollständig verdecken. Vergleiche den Verlauf der beiden Graphen, nachdem du auf diese Weise möglichst weit hinausgezoomt hast.
Beschreibe, wie man bei einer ganzrationalen Funktion f das Verhalten für untersuchen kann.
Untersuche nun mit dem folgenden Applet, warum man das Globalverhalten ganzrationaler Funktionen auf diese Weise untersuchen kann.
Wir bilden dafür eine neue Funktion h(x) = f(x)/g(x) . Das bedeutet, an jeder Stelle x berechnen wir den Wert f(x) der originalen ganzrationalen Funktion, und wir berechnen auch den Wert der Potenzfunktion g(x). Diese beiden Werte teilen wir durcheinander.
Untersuche, wie sich die Werte des Quotienten f(x)/g(x) verändern, wenn man für x immer größere Zahlen verwendet.
Begründe, dass bei einer ganzrationalen Funktion f derjenige Summand, der die Potenz mit dem höchsten Exponenten der Funktionsvariable x enthält, das Verhalten für bestimmt. Zur Erinnerung: diesen höchsten Exponenten nennt man auch Grad der Funktion f.