Küpler Toplamına Geometrik Yaklaşım
'den ' ye kadar olan sayıların küplerinin toplamı;
olarak ifade edilir. Bu yazıda cebirsel olarak verilen bu eşitliği geometrik yaklaşım üzerinden elde edeceğiz.
boyutlu bir ızgaranın içine, yatay ya da dikey ve en az 1 kare içeren toplam kaç tane dikdörtgen sığar?
Problemde ifade edilen dikdörtgen sayısını iki farklı biçimde sayalım.
1.SAYIM
Dikdörtgenleri boyutlarına göre olacak şekilde sınıflayabiliriz.
Sırasıyla sütunda bulunan kenar sayılarına göre gruplayıp saymaya başlayalım.
Sütunda kenarı bulunan dikdörtgenler:
boyutlu dikdörtgenlerden her satırda tane belirleneceği ve tane de sütun bulunduğu için toplam, tane dikdörtgen oluşturulabilir.
boyutlu dikdörtgenlerden her satırda tane belirleneceği ve tane de sütun bulunduğu için toplam, tane dikdörtgen oluşturulabilir.
Tahmin edileceği üzere, boyutlu dikdörtgenlerden her satırda tane belirleneceği ve tane de sütun bulunduğu için toplam, tane dikdörtgen oluşturulabilir.
Bu şekilde devam edilirse bu gruptaki son elemanlar boyutundaki dikdörtgenler olacak. Bu dikdörtgenlerden ise her satıda tane belirleneceği ve tane de sütun bulunduğu için toplam, tane dikdörtgen oluşturulabilir.
Şimdi elde edilen dikdörtgen sayılarına sırasıyla bakalım:
boyutunda
boyutunda
boyutunda
.
.
.
boyutunda
tane dikdörtgen olacaktır.
Öyle ise sütunda kenarı bulunan dikdörtgenlerin sayısı: olarak bulunur.
Şimdi sütunda kenarı bulunan dikdörtgenlere bakalım bunlar:
boyutlu dikdörtgenler tane satır ve tane sütuna farklı biçimde yerleşebileceği için toplam, tane dikdörtgen oluşturulabilir.
boyutlu dikdörtgenler tane satır ve tane sütuna farklı biçimde yerleştirilebileceği için toplam, tane dikdörtgen oluşturulabilir.
Bu şekilde devam edilirse bu gruptaki son elemanlar, boyutundaki dikdörtgenler olacak. Bu dikdörtgenlerden ise tane satır ve tane sütuna farklı biçimde yerleştirilebileceği için toplam, tane dikdörtgen oluşturulabilir.
Öyle ise sütunda kenarı bulunan dikdörtgen sayısı olarak bulunur.
Bu şekilde devam edilirse son grup, sütunda kenarı bulunan dikdörtgenler olacaktır. Bunlar:
boyutlu dikdörtgenler tane satır ve tane sütuna farklı biçimde
yerleştirilebileceği için toplam, tane dikdörtgen oluşturulabilir.
boyutlu dikdörtgenler tane satır ve tane sütuna farklı biçimde yerleştirilebileceği için toplam, tane dikdörtgen oluşturulabilir.
Bu şekilde devam edilirse bu gruptaki son elemanlar boyutundaki dikdörtgenler olacaktır. Bu dikdörtgenler ise tane satır ve tane sütuna farklı biçimde yerleştirilebileceği için toplam, tane dikdörtgen oluşturulabilir.
Öyle ise sütunda kenarı bulunan dikdörtgen sayısı olarak bulunur.
Son adımımızda tüm gruplara ait dikdörtgen sayılarını toplayarak oluşturulabilecek tüm dikdörtgenlerin sayısını bulalım:
Sütunda kenarı bulunan dikdörtgen sayısı:
Sütunda kenarı bulunan dikdörtgen sayısı:
.
.
.
Sütunda kenarı bulunan dikdörtgen sayısı:
Nitekim ifadeler incelendiğinde toplamların nasıl ilerleyeceği kolayca tahmin edilebilir. Şimdi bu ifadeleri toplayarak birinci sayma işlemimizi tamamlayalım.
olduğundan. Toplam dikdörtgen sayısı:
olacaktır.
Şimdi ikinci sayma işlemine geçelim.
2.SAYIM
boyutlu ızgaranın sol üst köşesindeki boyutlu bölgenin içine, bir kenarı bölgenin tabanına ya da sağ sınırına değecek biçimde yerleştirilebilecek dikdörtgenlere odaklanalım.
Dikkat edilirse 'den 'e kadar bu sayma işlemi yapılıp sayılar toplanırsa oluşturulabilecek tüm dikdörtgenlerin sayısına ulaşılır.
Herhangi bir için bu şekilde çizilebilecek dikdörtgen sayısı boyutlu bölgede çizilebilecek tüm dikdörtgenlerin sayısından, boyutlu bölgede dikdörtgenlerin sayısı çıkarılarak bulunur. Yukarıda;
boyutlu bölgede çizilebilecek tüm dikdörtgenlerin sayısını:
boyutlu bölgede çizilebilecek tüm dikdörtgenlerin sayısını:
olarak bulduk.
Öyle ise boyutlu bölgenin içine, bir kenarı bölgenin tabanına ya da sağ sınırına değecek biçimde yerleştirilebilecek dikdörtgen sayısı:
olarak bulunur. Şimdi 'den 'ye kadar tüm değerleri için toplayıp birinci sayımda bulduğumuz sonuca eşleyelim:
olarak bulunur.
Bu yazının konusu Ali Nesin'in "Sayma" isimli kitabında bulunan okuyucuya yöneltilen problemlerden alınmıştır. (Syf. 61 Alıştırma 4.10)
Problemde ifade edilen dikdörtgen sayısını iki farklı biçimde sayalım.
1.SAYIM
Dikdörtgenleri boyutlarına göre olacak şekilde sınıflayabiliriz.
Sırasıyla sütunda bulunan kenar sayılarına göre gruplayıp saymaya başlayalım.
Sütunda kenarı bulunan dikdörtgenler:
boyutlu dikdörtgenlerden her satırda tane belirleneceği ve tane de sütun bulunduğu için toplam, tane dikdörtgen oluşturulabilir.
boyutlu dikdörtgenlerden her satırda tane belirleneceği ve tane de sütun bulunduğu için toplam, tane dikdörtgen oluşturulabilir.
Tahmin edileceği üzere, boyutlu dikdörtgenlerden her satırda tane belirleneceği ve tane de sütun bulunduğu için toplam, tane dikdörtgen oluşturulabilir.
Bu şekilde devam edilirse bu gruptaki son elemanlar boyutundaki dikdörtgenler olacak. Bu dikdörtgenlerden ise her satıda tane belirleneceği ve tane de sütun bulunduğu için toplam, tane dikdörtgen oluşturulabilir.
Şimdi elde edilen dikdörtgen sayılarına sırasıyla bakalım:
boyutunda
boyutunda
boyutunda
.
.
.
boyutunda
tane dikdörtgen olacaktır.
Öyle ise sütunda kenarı bulunan dikdörtgenlerin sayısı: olarak bulunur.
Şimdi sütunda kenarı bulunan dikdörtgenlere bakalım bunlar:
boyutlu dikdörtgenler tane satır ve tane sütuna farklı biçimde yerleşebileceği için toplam, tane dikdörtgen oluşturulabilir.
boyutlu dikdörtgenler tane satır ve tane sütuna farklı biçimde yerleştirilebileceği için toplam, tane dikdörtgen oluşturulabilir.
Bu şekilde devam edilirse bu gruptaki son elemanlar, boyutundaki dikdörtgenler olacak. Bu dikdörtgenlerden ise tane satır ve tane sütuna farklı biçimde yerleştirilebileceği için toplam, tane dikdörtgen oluşturulabilir.
Öyle ise sütunda kenarı bulunan dikdörtgen sayısı olarak bulunur.
Bu şekilde devam edilirse son grup, sütunda kenarı bulunan dikdörtgenler olacaktır. Bunlar:
boyutlu dikdörtgenler tane satır ve tane sütuna farklı biçimde
yerleştirilebileceği için toplam, tane dikdörtgen oluşturulabilir.
boyutlu dikdörtgenler tane satır ve tane sütuna farklı biçimde yerleştirilebileceği için toplam, tane dikdörtgen oluşturulabilir.
Bu şekilde devam edilirse bu gruptaki son elemanlar boyutundaki dikdörtgenler olacaktır. Bu dikdörtgenler ise tane satır ve tane sütuna farklı biçimde yerleştirilebileceği için toplam, tane dikdörtgen oluşturulabilir.
Öyle ise sütunda kenarı bulunan dikdörtgen sayısı olarak bulunur.
Son adımımızda tüm gruplara ait dikdörtgen sayılarını toplayarak oluşturulabilecek tüm dikdörtgenlerin sayısını bulalım:
Sütunda kenarı bulunan dikdörtgen sayısı:
Sütunda kenarı bulunan dikdörtgen sayısı:
.
.
.
Sütunda kenarı bulunan dikdörtgen sayısı:
Nitekim ifadeler incelendiğinde toplamların nasıl ilerleyeceği kolayca tahmin edilebilir. Şimdi bu ifadeleri toplayarak birinci sayma işlemimizi tamamlayalım.
olduğundan. Toplam dikdörtgen sayısı:
olacaktır.
Şimdi ikinci sayma işlemine geçelim.
2.SAYIM
boyutlu ızgaranın sol üst köşesindeki boyutlu bölgenin içine, bir kenarı bölgenin tabanına ya da sağ sınırına değecek biçimde yerleştirilebilecek dikdörtgenlere odaklanalım.
Dikkat edilirse 'den 'e kadar bu sayma işlemi yapılıp sayılar toplanırsa oluşturulabilecek tüm dikdörtgenlerin sayısına ulaşılır.
Herhangi bir için bu şekilde çizilebilecek dikdörtgen sayısı boyutlu bölgede çizilebilecek tüm dikdörtgenlerin sayısından, boyutlu bölgede dikdörtgenlerin sayısı çıkarılarak bulunur. Yukarıda;
boyutlu bölgede çizilebilecek tüm dikdörtgenlerin sayısını:
boyutlu bölgede çizilebilecek tüm dikdörtgenlerin sayısını:
olarak bulduk.
Öyle ise boyutlu bölgenin içine, bir kenarı bölgenin tabanına ya da sağ sınırına değecek biçimde yerleştirilebilecek dikdörtgen sayısı:
olarak bulunur. Şimdi 'den 'ye kadar tüm değerleri için toplayıp birinci sayımda bulduğumuz sonuca eşleyelim:
olarak bulunur.
Bu yazının konusu Ali Nesin'in "Sayma" isimli kitabında bulunan okuyucuya yöneltilen problemlerden alınmıştır. (Syf. 61 Alıştırma 4.10)
Bilal DEMİR Matematik Öğretmeni