Nicht-ebenes Viereck
![Quelle:[url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cc/Warszawa_Ochota_PKP_radek_kolakowski.jpg/1920px-Mapcarta.jpg]Wikipedia[/url], Bahnhofsgebäude im Stadtteil Ochota, Warschau, Polen.](https://beta.geogebra.org/resource/fqj3p9xz/6STxkUYz570i4GqI/material-fqj3p9xz.png)
Darstellung der Strecke AB
Wir beginnen mit der Strecke AB.
Als Gerade kann sie natürlich in der Eingabezeile als Strecke(A,B) definiert werden, aber das führt hier nicht weiter. Hier wird diese Strecke als Kurve definiert:
g_{AB}: Kurve( A + s*(B-A), s, 0, 1)
Dabei steht A für den Stützvektor der Geraden und (B-A) für den Richtungsvektor.
Bei GeoGebra können statt der Vektoren einfach die Punkte geschrieben werden, das ist sehr bequem.
Das Werkzeug Kurve erwartet bis zu 6 Parameter. Die letzten drei sind Name der Laufvariablen, Startwert und Endwert.
Die Variable s läuft hier also von 0 bis 1.
Die ersten drei Parameter des Werkzeugs Kurve sind Terme für die x-, y- und z-Koordinate.
Hier kann man es sich aber sehr einfach machen und gibt nur einen Ausdruck ein, nämlich A + s*(B-A).
Das wird bei GeoGebra akzeptiert, es sind in diesem Term ja schließlich auch Informationen über x-, y- und z-Koordinate enthalten.
Für die weiteren Betrachtungen ist es angebracht, den Term für die Strecke algebraisch umzuformen:
A + s*(B-A) =
A + s*B - s*A =
(1-s)*A + s*B.
Offensichtlich wird mit mit diesem Term der Punkt A erreicht, mit der Punkt B und mit
jeder Punkt X zwischen A und B.
Zeichnen des räumlichen Vierecks ABCD
Die Strecke von A nach D wird entsprechend durch
g_{AD}: Kurve((1-t)*A + t*D, t, 0, 1) dargestellt, und die Strecke von B nach C durch
g_{BC}: Kurve ((1-t)*B + t*C, t, 0, 1).
Ersetzt man nun im Term
(1-s)*A + s * B
den Punkt A durch die Strecke AD und den Punkt B durch die Strecke BC, so entsteht der Term
(1-s)*((1-t)*A + t*D) + s*((1-t)*B + t*C).
Dieser Term beschreibt nun alle Punkte des nicht-ebenen Vierecks.
Er enthält außer den vier Eckpunkten zwei Parameter, nämlich s und t, und er lässt sich in GeoGebra mit der Funktion Oberfläche zeichnen:
a: Oberfläche((1-s)*((1-t)*A + t* D) + s*((1-t)*B + t*C), s, 0, 1, t, 0, 1), oder ausmultipliziert:
a: Oberfläche((1-s)*(1-t)*A + s*(1-t)*B + s*t*C + (1-s)*t*D, s, 0, 1, t, 0, 1)
Für den Term
X = (1-s)*(1-t)*A + s*(1-t)*B + s*t*C + (1-s)*t*D
gilt folgendes:
s = 0: Der Punkt X durchläuft die Strecke AD, wenn t von 0 bis 1 läuft.
s = 1: Der Punkt X durchläuft die Strecke BC, wenn t von 0 bis 1 läuft.
t = 0: Der Punkt X durchläuft die Strecke AB, wenn s von 0 bis 1 läuft.
t = 1: Der Punkt X durchläuft die Strecke DC, wenn s von 0 bis 1 läuft.
Anmerkung:
Diese Oberfläche kann auch als die einfachste Bézierfläche, nämlich vom Grad 1, aufgefasst werden. Alle vier Strecken sind Bézierkurven vom Grad 1, d.h. sie sind linear und enthalten keine verformenden Stütz- oder Zwischenpunkte.
Einbettung in ein hyperolisches Paraboloid
Das hier vorliegende nicht-ebene Viereck ist ein Ausschnitt aus einem so genannten hyperbolischen Paraboloid.
In dem Term für die Oberfläche
X = (x|y|z) = (1-s)*(1-t)*A + s*(1-t)*B + s*t*C + (1-s)*t*D
sind die drei Koordinaten enthalten.
Für A=(15| 0| 1), B=( 0|15|13), C=(-15| 0| 1) und D=( 0|-15|13) wie im gezeichneten Beispiel ganz oben werden die drei Komponenten berechnet:
x = (1-s)*(1-t)*15 + s*(1-t)*0 +s*t*(-15) + (1-s)*t*0
x = 15 - 15s - 15t + 15st -15st
x = 15 - 15s - 15t.
y =(1-s)*(1-t)*0 + s*(1-t)*15 + s*t*0 + (1-s)*t*(-15)
y = 15s - 15t
z = (1-s)*(1-t)*1 + s*(1-t)*13 + s*t*1 + (1-s)*t*13
z = 1 + 12s + 12t -24st
Aus den beiden Gleichungen
x = 15 - 15s - 15t
y = 15s - 15t
folgt durch Addition: x + y = 15 - 30t
und durch Subtraktion: x - y = 15 - 30s
Aus der ersten dieser beiden Gleichungen folgt
, und aus der zweiten
.
Setzt man diese beiden Terme in die Gleichung für z ein, so ergibt sich
Daraus ergibt sich die parameterfreie Funktionsgleichung
F(x,y) = 7 -(2/75)*x² + (2/75)*y²
Diese Funktionsgleichung beschreibt das unbegrenzte hyperbolische Paraboloid.
Beide sind im folgenden GeoGebra-Applet gemeinsam dargestellt.
Eigenschaften des hyperbolischen Paraboloids
Die Schnitte des hyperbolischen Paraboloids mit Ebenen, die senkrecht stehen und parallel zur yz-Ebene liegen, sind nach oben geöffnete Parabeln, die alle zueinander kongruent sind.
Für diese Ebenen gilt ja x=c, und damit wird
z = F(c,y) = 7 - (2/75)·c + (2/75)y².
Entsprechend ergeben sich für die Schnitte mit Ebenen, die parallel zu xz-Ebenen liegen, die also die Gleichung y=b haben,
z = F(x,b) = 7 - (2/75)·x² +(2/75)·b,
also zueinander kongruente nach unten geöffnete Parabeln.
Schnitte des hyperbolischen Paraboloids mit Ebenen parallel zur xy-Ebene sind Hyperbeln, denn für diese
Ebenen gilt z=d, und somit
d = 7 - (2/75)·x² +(2/75)·y² oder
x² - y² = (7-d)·75/2, also liegt eine Hyperbelgleichung vor.
Erstellt am 28.11.2021