3.4 El Método de Eliminación en Tres Pasos

Introducción

Llegó el momento de describir el método de eliminación de manera general, este método ( o algoritmo) permite encontrar todas las soluciones de cualquier sistema de ecuaciones lineales.Sorprendentemente, el método consiste en tres pasos sencillos y elementales aplicados a las filas de la matriz aumentada asociada al sistema de ecuaciones.

La Matriz Escalonada

Considere el siguiente sistema de ecuaciones:

La matriz aumentada de este sistema es la siguiente:

Recuerde que la matriz aumentada tiene columnas para cada variable (en esta caso x,y,z,w) y la última columna de la matriz son las partes derechas de las ecuaciones. Paso 1 (Intercambio) * Recorra la Matriz de izquierda a derecha hasta encontrar la primera columna que no tiene todos sus elementos en cero ( está se llamara Columna Pivote). * Recorra ahora la Columna Pivote de arriba hacia abajo hasta encontrar el primer elemento de la columna pivote diferente de cero (este elemento se llamará Pivote) * Finalmente si la fila donde se encuentre el pivote no es la primera fila de la matriz intercambie esta fila por la primera. Para el caso de la matriz que estamos considerando la columna pivote sería la primera y el pivote sería el 2 situado en la tercera fila de la primera columna ( ver matriz):

Como el pivote (el 2 al comienzo de la tercera fila) no se encuentra en la primera fila se intercambian la fila 1 con la 3 y obtenemos la siguiente matriz:

¡¡¡ Fin del Paso 1!!! Una vez se tiene la fila con el pivote en la parte superior de la matriz: Paso 2: (pivote en 1, Multiplicación de Fila Pivote) Multiplicar cada número de la fila que contiene el pivote por un número que convierta el pivote en 1 (este número siempre es ), en este caso multiplicamos la primera fila de la matriz por 1/2 y obtenemos:

¡¡¡ Fin del Paso 2!!! Una vez se convierte el pivote en 1 viene el paso más importante del método de eliminación que consiste en convertir todos los números de la matriz que se encuentran por debajo del pivote en 0 (Observe que si volvemos de la matriz a las ecuaciones, esto corresponde a ¡¡¡eliminar la variable x de todas las ecuaciones excepto de la primera!!!) Paso 3: (Eliminación) Reemplazar cada fila que tenga un número diferente de cero debajo del pivote por la fila que resulta de: * Multiplicar la fila pivotada por el negativo del número que aparece debajo del pivote y sumarla a la fila donde aparece el número. Observe que las filas 2 y 3 ya tienen un 0 debajo del pivote entonces quedan intactas , la fila 4 tiene un 2 y hay que convertirlo en cero, para hacerlo debemos entonces multiplicar la fila por el negativo del número que aparece debajo del pivote o sea -2 y sumarla a la fila 4, al realizar esto obtenemos la siguiente matriz:

¡¡¡Fin del Paso 3!!! Hemos convertido todos los números debajo del pivote en 0, o sea hemos eliminado x de todas las ecuaciones excepto de la primera. Resuminedo, los tres pasos del método de Eliminación son: Paso 1: (Intercambio) Paso 2 : (pivote en 1, Multiplicación de Fila Pivote) Paso 3 (Eliminación) Lo que queda es iterar estos 3 pasos tantas veces como número de filas tenga la matriz, entonces vamos a "congelar" esta fila hasta el final del proceso (para indicar esto la pondremos con color gris) y trabajamos con la matriz que queda :

A esta matriz de tres filas volvemos a aplicar los pasos 1 a 3: Paso 1: Encontrar el pivote: El pivote es el dos de la segunda fila:

Al intercambiar fila 2 con fila 1 queda la siguiente matriz:

Paso 2: Multiplicación de fila: Multiplicar fila 2 por 1/2, para convertir pivote en 1:

Paso 3: Eliminación En este caso hay que convertir el -2 de la última fila en 0, o sea multiplicar la primera fila por 2 y sumarla a la fila 3:

¡¡¡Listo!!! Segundo pivote cumple su misión y la fila la "congelamos " y la ponemos en gris:

Nos quedan dos filas: Paso 1: El pivote es ahora el 2 de la tercera columna y primera fila, no hay que hacer intercambio de fila:

Paso 2 (Multiplicación por fila) Se multiplica la fila del pivote por 1/2 para convertirlo en 1:

Paso 3 (Eliminación) Se convierte el 2 de la segunda fila de esta matriz en cero multiplicando la primera fila por -2 y sumando a la fila 2:

¡¡¡Listo!!! Pivote 3 cumplió su papel, ponemos en gris esta fila y obtenemos la matriz delgada de una sola fila:

Al intentar aplicar el paso 1 , no podemos encontrar más pivotes y entonces el proceso termina. La matriz escalonada Si volvemos a poner en negro todas las filas que fueron eliminadas temporalmente , obtenemos la siguiente matriz:

Esta matriz se llama Matriz Escalonada: * las variables asociadas a columnas que tienen pivotes se llaman variables pivotadas , en este caso son: * Las variables asociadas a columnas que no tienen pivotes se llaman variables no pivotadas , en este caso la cuarta columna no tiene pivote y corresponde a la variable si ahora tomamos la matriz y la convertimos en un sistema de ecuaciones tenemos lo siguiente:

Para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones de manera general, lo que se debe hacer es expresar las variables pivotadas en función de las variables no pivotadas, en este caso para obtener la solución del sistema debemos expresar en función de Para este sistema de ecuaciones es muy sencillo, haciendo sustitución de abajo hacia arriba es decir: * Expresamos en función de , usando la tercera ecuación. * teniendo el valor de , lo sustituimos en la segunda ecuación y luego despejamos en función de solo . * teniendo los valores de y de , los sustituimos en la primera ecuación y luego despejamos en función solo de .

Pero hay un método más sencillo que veremos a continuación...

Ejemplo Resuelto en una Hoja Electr[onica

La Matriz Escalonada Reducida y la Solución Completa

La matriz escalonada nos permite, usando substitución de abajo hacia arriba de las variables, obtener la solución del sistema de ecuaciones. Sin embargo hay un mejor método que consiste en seguir trabajando con la matriz escalonada y seguir poblando de ceros la matriz conviertiendo ahora en cero los números que se encuentran por encima de los pivotes (recuerde que esto corresponde a seguir eliminando variables de las ecuaciones). De esta manera obtendremos un sistema de ecuaciones lo más simplificado posible. Retomemos entonces la matriz escalonada del sistema de ecuaciones:

Vamos a convertir entonces en cero los números 3/2 y -5/2 de la columna 3 y el número 1 de la columna 2 fila 1: Para convertir el 3/2 de la fila 2 en 0 debemos multiplicar la fila 3 de la matriz por -3/2 y sumarla a la fila 2:

Para convertir el -5/2 de la fila 1 en 0 debemos multiplicar la fila 3 de la matriz por 5/2 y sumarla a la fila 1:

Y finalmente para convertir el 1 en la columna 2 fila 1 debemos multiplicar la fila 2 de la matriz por -1 y sumarla a la fila 1:

¡¡¡ Listo!!!! Ya no podemos reducir más esta matriz, esta matriz se llama Matriz Escalonada Reducida. El sistema de ecuaciones correspondiente a esta matriz es el siguiente:

A partir de este sistema obtenido de la matriz escalonada reducida es inmediato obtener las solución del sistema, expresando las variables pivotadas en función de la no pivotada

¿y cual es el valor de w? al ser una variable no pivotada, esta variable es una variable independiente (libre) del sistema de ecuaciones y entonces w puede tomar cualquier valor, esto lo expresamos colocando, w=w, entonces la solución completa, con el valor de cada una de las variables del sistema es el siguiente:

Esta solución se puede escribir de una manera más elegante y que nos será muy útil más adelante yo la llamo la solución vectorial del sistema de ecuaciones y es la siguiente: