Le tétraèdre tiers de cube
Considérons un cube et les diagonales de ses faces carrées. Il contient deux grands tétraèdres.
Quel est la portion du volume d'un grand tétraèdre? Une manière difficile de répondre est d'appliquer la formule . Pour ça, il nous faut chercher l'aire d'une des quatre base: un triangle équilatéral de côté a une aire mais sa hauteur... pas facile!
Procédons autrement en nous intéressant aux coins qui sont aussi des tétraèdres, c'est-à-dire des pyramides, dont une base et une hauteur sont plus simples: ce sont respectivement une demie face et un côté du carré.
Si est le côté du tétraèdre, le côté du carré est car est la diagonale du carré. Donc le volume du cube est .
L'aire d'une face, un carré de côté est . Une demi-face, c'est-à-dire la base d'un des coins est donc la moitié .
Le volume d'un des coins est donc , un sixième du volume du cube.
Il y a 4 coins dans le cube. Le volume du tétraèdre régulier restant est donc .
On a donc le volume du cube qui est décomposé en quatre sixièmes pour les coins et un tiers pour le tétraèdre régulier central. Voici une autre incarnation du tiers de cube.
Vous pouvez tourner autour de la décomposition du cube.