Seltsame Strophoiden-Konstruktion
- Autor:
- Walter Füchte
- Thema:
- Kreis, Kegelschnitte, Hyberbel, Spiegelung, Symmetrie
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Möbius-Werkzeuge circle-tools (Mai 2019)
Siehe hierzu auch die Aktivität Fünf Arten, Kegelschnitte zu erzeugen. Beim Start des Applets wird eine gerade Strophoide angezeigt. Eine solche entsteht aus einer gleichseitigen Hyperbel durch Inversion an einem geeigneten Kreis. Diese Strophoide besitzt die einfachen Brennpunkte f und f' und den doppelt-zählenden Brennpunkt . Bewegt man den Scheitelpunkt s auf der x-Achse, so erhält man konfokale "Strophoiden"; sie entstehen aus konfokalen Kegelschnitten durch Inversion an dem oben erwähnten Kreis. "Strophoide" heißt "Schleifenkurve", meist wird nur die "gerade" Strophoide als solche bezeichnet, wir verwenden den Namen etwas allgemeiner. Die "seltsame Konstruktion" beruht auf folgender Beobachtung: Zu den Brennpunkten gehören zwei Kreisbüschel: das hyperbolische Kreisbüschel durch f und f' (f' liegt sehr weit rechts!) und das parabolische Kreisbüschel durch aus den Kreisen, die die x-Achse in berühren. Durch fast jeden Punkt der Strophoide geht aus jedem der beiden Büschel genau ein Kreis. Die Strophoide ist Winkelhalbierende dieser Kreise. Die beiden Kreise schneiden den Symmetriekreis in zwei "gegenüberliegenden" Punkten. Der zum Symmetriekreis orthogonale Kreis durch diese Punkte schneidet die x-Achse in zwei fixen Punkten u0 und u'0. Man kann diese Punkte zur Konstruktion der Strophoidenpunkte verwenden. Die geometrische Deutung der Punkte u0 und u'0 ist uns unbekannt, von der angegebenen Konstruktionsmöglichkeit abgesehen. Für die gerade Strophoide ist u0 der Scheitel S und u'0 der unendlich ferne Punkt , der Kreis durch u0 und u'0 ist eine Gerade durch den Mittelpunkt des Symmeriekreises.