Mit Pyramiden zur Kugeloberfläche
Eine Kugel wird mit Drei- und Viereckspyramiden so ausgefüllt, dass sich zwischen den Pyramiden keine Luft mehr befindet und die Grundflächen die Kugeloberfläche berühren.
Idee
Da sich die Gesamtgrundfläche aller Pyramiden der Kugeloberfläche annähert, kann mithilfe der bekannten Formeln des Pyramiden- und Kugelvolumens die Formel der Kugeloberfläche entwickelt werden.
1. Schritt (Grundfläche von z.B. 144 Pyramiden)
2. Schritt (Grundfläche unendlich vieler Pyramiden = Kugeloberfläche)
3. Schritt (Volumen unendlich vieler Pyramiden)
4. Schritt (Pyramidenvolumen basierend auf Kugeloberfläche)
5. Schritt (Pyramidenvolumen = Kugelvolumen)
6. Schritt (Formel für die Kugeloberfläche)
| | Die Summe G der Grundflächen Gi aller Pyramiden (hier 144) ist näherungsweise gleich der Kugeloberfläche: |
| | Wird die Anzahl der Pyramiden immer größer, werden die Grundfläche immer kleiner und die Gesamtgrundfläche G nähert sich immer mehr der gesuchten Kugeloberfläche an. Geht die Anzahl der Pyramiden gegen Unendlich (eine Summe ohne Endsummand), so kann dieser "Grenzwert der Gesamtgrundfläche G" der Kugeloberfläche gleichgesetzt werden: |
| | Das Volumen V aller Pyramiden mit jeweiligen Grundfläche Gi und Höhe r kann mithilfe der Gesamtgrundfläche G geschrieben werden: |
| | Für unendlich viele Pyramiden gilt (s. oben) und folglich für das Pyramidenvolumen |
| | Für unendlich viele Pyramiden ist VP gleich dem bekannten Kugelvolumen . Daraus folgt: |
| | Aufgelöst nach der Kugeloberfläche ergibt sich damit: |