Google Classroom
GeoGebraGeoGebra Classroom

Mh17 Kalmár László matematikaverseny feladat

A feladat

Dominika pirosra festette az ABCD négyzet síkjának azon pontjait, amelyeknek a négyzet középpontjától való távolsága legfeljebb akkora, mint a hozzájuk legközelbb levő négyzet csúcstól való távolsága. A pirosra festett síkrész területe hányadrésze a négyzet területének? A feladat mértani helyes problémává fogalmazható át: Mi azon pontok mértani helye az ABCD négyzet síkjában, melyeknek a négyzet középpontjától való távolsága legfeljebb akkora, mint a hozzájuk legközelebb levő négyzet csúcstól való távolságuk?

Segítség

Tanuljuk/tanítjuk, hogy azon pontok mértani helye, melyeknek két ponttól való távolságuk egyenlő a síkban a két pont által meghatározott szakasz felező merőlegese.
4 - háromszög egyenlőtlenség Ha egy pont nem illeszkedik a szakaszfelező merőlegesre, akkor a szakasz egyik végpontjával a szakaszfelező merőlegesre vonatkozó közös félsíkban van. A fenti bizonyításból következően ettől a ponttól való távolsága kisebb, mint a másik ponttól való távolsága.

A feladat megoldása

1 - Az oldalak felező merőlegesei négy síknegyedre osztják a síkot. Mindegyik negyedben azok a pontok vannak, amelyek a síknegyedben levő négyzetcsúcstól legfeljebb akkora távolságra vannak, mint a többitől. 3 - A középpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felező egyenesei adják meg, amelyek a középponttól legfeljebb akkora távolságra vannak, mint a csúcstól. A keresett mértani hely a négyzet oldalfelező pontjai által megadott négyszöglap.

2. probléma

Mi azon pontok mértani helye az ABC szabályos háromszög síkjában, melyeknek a szabályos háromszög középpontjától való távolsága legfeljebb akkora, mint a hozzájuk legközelebb levő szabályos háromszög csúcstól való távolságuk?

Megoldás

A keresett mértani hely az adott szabályos háromszöglap középpontra vonatkozó tükörképe.

Ötszög esetén

Hatszög esetén