Exploration de l'espace des phases
- Auteur :
- Christian Mercat
Deux vues pour une même fonction: en bas, le graphe usuelle d'une fonction y(t) comme ensemble des points de coordonnées (t,y(t)). En haut, la représentation dans l'espace des phases (y(t),y'(t)).
On peut choisir l'instant de départ du graphe dans la fenêtre du bas mais surtout on pilote le point dans l'espace des phases, au départ un petit point coloré dans la fenêtre du haut. On voit alors s'afficher le graphe de la fonction qui a cette trajectoire dans l'espace des phases.
Le mouvement dans l'espace des phases est bien sûr contraint: si y'>0, alors y ne peut pas décroître et inversement, si y'<0, y ne peut pas croître. Suivant le quadrant, on peut aller soit à gauche, soit à droite.
Une droite horizontale dans l'espace des phases est associée à une pente constante, donc au graphe d'une droite oblique.
En tournant autour d'un point de l'axe des abscisses, on construit le graphe de la fonction (localement quasi) constante .
Une fonction exponentielle est associée à une droite linéaire (qui passe par l'origine) dans l'espace des phases: à tout instant, la dérivée est proportionnelle à la valeur de la fonction. Le paramètre de l'exponentielle est la pente de cette droite.
Construisez des solutions périodiques en tournant autour de l'origine dans l'espace des phases.
Vidéo d'explication
Flèches
Dans quelles directions la trace d'une fonction peut-elle aller dans l'espace des phases?
Fonction constante
Une fonction constante est représentée dans l'espace des phases
Fonction linéaire
Une fonction affine est représentée dans l'espace des phases
Fonction exponentielle
Une fonction exponentielle est représentée dans l'espace des phases
Fonction exponentielle divergente
Une fonction exponentielle divergente en est représentée dans l'espace des phases
Fonction exponentielle convergente
Une fonction exponentielle convergente vers 0 en est représentée dans l'espace des phases