Mínima suma de áreas con perímetro constante
- Autor:
- Ignacio Larrosa Cañestro
La suma de los perímetros de dos cuadrados es l = 56.
Hallar el mínimo de la suma S de sus áreas.
Si la suma de los perímetros es l y los lados son a y b, es s = a + b = l/4. Si es a > b, o viceversa, el exceso sobre la línea verde es mayor que el defecto bajo ella, pues ambos rectángulos tienen la misma altura, |a - b|/2, y el primero mayor base que el segundo. Por tanto la suma de las áreas de los dos cuadrados es mayor que la del rectángulo de base s y altura s/2, correspondiente a dos cuadrados iguales.
Con cálculo no hay ninguna dificultad. Sea:
M(a) = a² + b² = a² + (s - a)² = 2a²-2a·s +s²
M'(a) = 4a - 2s, M'(a) = 0 ⇒ a = s/2
M''(a) = 4 > 0 ⇒ Mínimo