Ângulo entre duas retas de Simson-Wallace

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Artigo

Revista do Instituto GeoGebra Internacional de São Paulo.

Se P e J são dois pontos pertencentes à circunferência circunscrita a um triângulo ABC, com A pertencente ao menor arco PJ, então o ângulo entre as retas de Simson- Wallace que possuem os pontos P e J como polos é congruente ao ângulo inscrito PBJ do menor arco PJ    

Roteiro de investigação 1. Abra um novo arquivo no GeoGebra e escolha na barra de ferramentas a opção "CÍRCULO DEFINIDO POR TRÊS PONTOS". 2. Com a ferramenta "POLÍGONO", desenhe um triângulo usando os três pontos A, B e C que definem a circunferência. 3. Com a ferramenta "PONTO MÉDIO OU CENTRO", determine o centro O da circunferência que circunscreve o triângulo ABC. 4. Usando a ferramenta "CONTROLE DESLIZANTE", estabeleça o controle "alfa" com valor mínimo igual a 0o e máximo com valor igual a 50o. Analogamente, defina o controle "beta" com valor mínimo igual  a 0o e máximo 50o. 5. Em seguida, selecione o ícone "PONTO SOBRE UM OBJETO" e marque um ponto P qualquer na circunferência. 6. Com a ferramenta “ÂNGULO COM AMPLITUDE FIXA”, selecione o ponto P, o centro O da circunferência que circunscreve o triângulo ABC e defina o ângulo alfa no sentido anti-horário. 7. A partir do ponto P’ trace, com a ferramenta "RETA PERPENDICULAR", retas perpendiculares aos lados do triângulo inscrito na circunferência e marque os pontos E, F e G de intersecção entre essas perpendiculares e os lados do triângulo com "INTERSEÇÃO DE DOIS OBJETOS". 8. Caso necessário, prolongue os lados do triângulo ABC usando a ferramenta "RETA". 9. Usando o ícone "RETA", trace a reta s que passa por E, F e G. A reta s é a reta de Simson-Wallace de polo P’ em relação ao triângulo ABC. 10. Clique com o botão direito do mouse sobre o ponto P, selecione a opção “EXIBIR OBJETO” e oculte. 11. Clique com o botão direito do mouse sobre o ponto P’, selecione “RENOMEAR” e renomeie-o para P. 12. Para um melhor efeito visual, clique com o botão direito do mouse sobre todas as construções auxiliares, selecione a opção "EXIBIR OBJETO" e oculte, mantendo apenas o triângulo ABC, a reta s de Simson-Wallace de polo P e a circunferência que circunscreve o triângulo ABC. 13. Marque, com "PONTO SOBRE UM OBJETO", o ponto J sobre a circunferência de tal modo que o vértice A do triângulo ABC pertença ao menor arco PJ. 14. Com a ferramenta “ÂNGULO COM AMPLITUDE FIXA”, selecione o ponto J, o centro O da circunferência que circunscreve o triângulo ABC e defina o ângulo beta no sentido horário. 15. A partir do ponto J’, repita os passos 7, 8 e 9, definindo assim a reta w de Simson-Wallace com polo J’. 16. Clique com o botão direito do mouse sobre o ponto J, selecione a opção “EXIBIR OBJETO” e oculte. 17. Clique com o botão direito do mouse sobre o ponto J’, selecione “RENOMEAR” e  renomeie-o para J. 18. Clique com o botão direito do mouse sobre todas as construções auxiliares, selecione a opção "EXIBIR OBJETO" e oculte, mantendo apenas o triângulo ABC, as retas s e w de Simson-Wallace, os polos P e J e a circunferência que circunscreve o triângulo ABC. 19. Marque, com a ferramenta "INTERSEÇÃO DE DOIS OBJETOS", o ponto W de intersecção entre as retas s e w. 20. Utilizando a ferramenta “ÂNGULO”, determine o ângulo PBJ e o ângulo entre as retas s e w. 21. Selecione com o botão direito do mouse os controles deslizantes alfa e beta, e na opção “LEGENDA”, renomeie-os para P e J, respectivamente. 22. Para finalizar, clique com o botão direito do mouse sobre os controles deslizantes P e J, selecione a opção “ANIMAR” ou movimente os cursores dos controles e observe a congruência entre o ângulo PBJ e o ângulo formado pelas retas s e w.