reeksontwikkeling
Berekenen van functies
Het werken met benaderende reeksen wordt ook gebruikt om 'moeilijkere' functies te berekenen.
Met rekenapparaatjes en computers, die niet opzien tegen enkele honderden of zelfs duizenden optellingen of vermenigvuldigen, werd de zogenaamde 'reeksontwikkeling' een techniek die toeliet met grote nauwkeurigheid snel berekeningen met sinus, cosinus, logaritmen, exponentiële functies uit te voeren.
Net zoals een rekenapparaatje niet echt een grafiek van een functie kan tekenen, maar pixel na pixel een functiewaarde plot, berekent het ook niet echt de sinus van een hoek. Het benadert de sinus door een reeks berekeningen uit te voeren. Het toestel stopt met rekenen wanneer de ingebouwde nauwkeurigheid bereikt is. Maar hoe zit deze techniek nu in elkaar?
De enige functies die we 'exact' kunnen berekenen zijn veeltermfuncties met rationale coëfficiënten:
f(x) = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 ...In de 17e eeuw ontwikkelden wiskundigen een techniek om functies als f(x) = sin(x) in een dergelijke vorm te schrijven.
Het probleem "hoe bereken je een functie?" veranderde hierbij in: "wat is de waarde van de coëfficiënten ci?"
De meesterlijke truc start in het achtereenvolgens berekenen van de afgeleiden van de reeks:
- f(x) = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 ...
- f '(x) = c1 + 2c2x + 3c3x2 + 4c4x3 ...
- f "(x) = 2c2 + 6c3x + 12c4x2 + 20c5x3 ...
- f '''(x) = 6c3 + 24c4x + 60c5x2 + 120c6x3 ...
reeksontwikkeling van Mc Laurin
Nemen we nu voor x de waarde x = 0, dan krijg je:
- f(x) = c0 zodat c0 = f(x)
- f'(x) = c1 zodat c1 = f'(x)
- f"(x) = 2c2 zodat c2 =
- f³(x) = 6c3 zodat c3 =
- ...
- fn(x) = n!cn zodat cn =
reeksontwikkeling van Taylor
Je kan elke willekeurige functie schrijven als een reeksontwikkeling, op voorwaarde dat ze
oneindig afleidbaar is in 0. Als je de afgeleide niet kan berekenen, ben je immers geen stap vooruit.
Is de functie afleidbaar in een punt a, dan kan je eenzelfde redenering opbouwen.
Zo krijgen we de reeksontwikkeling van Taylor: