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y= e^x approssimazione della funzione esponenziale con un polinomio in un intorno a zero

作成者:Roberta Ingitti, Franca Donato

Approssimazione della funzione esponenziale in un intorno di zero

Vogliamo approssimare con un polinomio, in un intorno di x=0, la funzione Ripassiamo le proprietà della funzione esponenziale
  • la funzione ha come dominio tutti i reali e come codominio l'insieme dei reali positivi
  • la funzione è una funzione strettamente crescente
  • la funzione interseca l'asse delle ordinate nel punto (0,1)
  • la funzione presenta un asintoto orizzontale sinistro di equazione
  • la funzione è l'inversa della funzione

Grafico della funzione esponenziale

Determinazione del polinomio approssimante

La funzione esponenziale in vale (). Quindi se vogliamo approssimare la funzione con un polinomio di grado 0, necessariamente anche il polinomio calcolato in x=0 deve valere 1 cioè . Tale polinomio è una retta parallela all'asse delle ascisse. Se rappresenti entrambe le funzioni su un file di geogebra, ti accorgerai che l'approssimazione è buona solo in un intorno piccolissimo di . Infatti, fissa un valore di, a tale valore corrisponderà un punto E sulla curva esponenziale e un punto P sulla funzione polinomiale. La distanza EP tra le ordinate di tali punti (|) può fornire una indicazione del grado di approssimazione tra le due curve: più la distanza EP tra le due curve è piccola più è buona l'approssimazione. Completa la seguente tabella inserendo opportune formule nel foglio di calcolo. Nella finestra grafica, invece, sposta il punto P (e quindi la sua ascissa) e visualizza come l'approssimazione indicata dalla distanza EP , tra la funzione esponenziale e il polinomio, migliori man mano che l'ascissa di P si avvicini a 0.
Usando geogebra costruisci, la visualizzazione della distanza che c'e tra la funzione e il polinomio approssimante al variare delle prese in un intorno di . N.B. devi:
  1. traccia la funzione esponenziale;
  2. traccia la funzione polinomiale ;
  3. traccia la retta ;
  4. si introdurrà automaticamente uno slider che mi farà variare le scelte;
  5. visualizzare, con il comando intersezione, i punti E e P che appartengono rispettivamente alle due funzioni e corrispondenti alla scelta;
  6. visualizzare il segmento EP che rappresenta la distanza tra tali punti;
  7. visualizzare il valore numerico di tale distanza.

E' assolutamente necessario migliorare l'approssimazione

Aggiungiamo al polinomio di grado 0 un termine di primo grado, ottenendo il polinomio . Ci chiediamo quale potrebbe essere il valore di che renda l'approssimazione migliore possibile. Per determinare il valore del coefficiente del termine di 1° grado possiamo fare valutazioni di diversa natura:
  • Una valutazione intuitiva utilizzando Geogebra
  • Una valutazione algebrica utilizzando un foglio di calcolo
Usa Geogebra:
  1. inserisci la funzione esponenziale;
  2. inserisci il polinomio
  3. si crea automaticamente uno slider
Per capire quale potrebbero essere il segno e il valore di , fai dei tentativi, variando il valore dello slider . Ricordati che puoi anche "animare" lo slider , regolando la velocità del movimento, per osservare meglio la posizione reciproca tra il polinomio e la funzione.

Considerazioni che si possono fare su a:

  1. Quale è il segno di ?
  2. Quale valore di ti sembra possa essere adeguato per una buona approssimazione?
  3. Ti sembra che il polinomio, che è una retta passante per il punto , sia una retta "particolare" per la funzione ?

Valutazione di tipo algebrico del coefficiente a del termine di 1° grado.

L'idea è la seguente: determiniamo il valore di ( coefficiente del termine di primo grado del polinomio) seguendo un ragionamento molto semplice :      
  • Prendiamo un valore di abbastanza vicino allo zero, per esempio
  •  calcoliamo la funzione esponenziale in :
  •  calcoliamo il valore del Polinomio di 1° grado in :
  • ricaviamo risolvendo la seguente equazione :
se risolviamo, rispetto ad l'equazione , otterremo Se ripeti la stessa procedura per un valor di che si avvicina ulteriormente a 0, otterrai un valore di sempre più vicino al valore che ti permette di approssimare meglio la funzione esponenziale con un polimonio . Usa il foglio excel per ricavare (con un'approssimazione di sei cifre decimali) per i seguenti valori : ;

procedura per ricavare a

Valutazione del polinomio di primo grado approssimante

in seguito alle valutazioni fatte scrivi il polinomio di 1° grado, che meglio approssima, in, la funzione esponenziale:

Ulteriore miglioramento del polinomio approssimante

Proviamo a migliorare il polinomio approssimante aggiungendo un termine di secondo grado al polinomio . Per determinare il valore del coefficiente del termine di secondo grado , possiamo fare anche qui valutazioni di diversa natura:
  • una valutazione intuitiva usando Geogebra
  • una valutazione algebrica
  • una valutazione di natura geometrica (una valutazione globale), ovvero, scegliendo un intorno di zero non troppo piccolo e minimizziamo l'area sottesa tra il polinomio e la funzione esponenziale usando Geogebra

Valutazione intuitiva del coefficiente b

Usa Geogebra:
  1. inserisci la funzione esponenziale;
  2. inserisci il polinomio
  3. si crea automaticamente uno slider
Per capire quale potrebbero essere il segno e il valore di , fai dei tentativi, variando il valore dello slider . Ricordati che puoi anche "animare" lo slider , regolando la velocità del movimento, per osservare meglio la posizione reciproca tra il polinomio e la funzione.

Valutazione intuitiva del coefficiente b

Considerazioni che si possono fare su b:

  1. Quale è il segno di ?
  2. Quale valore di ti sembra possa essere adeguato per una buona approssimazione?

Ti sarai reso conto che, pur variando il valore dello slider, sembrerebbe non semplice capire l'esatto valore del coefficiente . Analizziamo un altro tipo di valutazione:

Valutazione di tipo algebrico del coefficiente b del termine di 2° grado.

L'idea è la seguente: determiniamo il valore di ( coefficiente del termine di 2° grado del polinomio) seguendo il seguente ragionamento:      
  • Prendiamo un valore di abbastanza vicino allo zero, per esempio
  •  calcoliamo la funzione esponenziale in :
  •  calcoliamo il valore del Polinomio di 2° grado in :
  • ricaviamo risolvendo la seguente equazione :
se risolviamo l'equazione , otterremo 0,53507 Se ripeti la stessa procedura per un valor di che si avvicina ulteriormente a 0, otterrai un valore di sempre più vicino al valore più adatto. Usa il foglio excel per ricavare (con un'approssimazione di sei cifre decimali) per i seguenti valori : ;

procedura algebrica per ricavare il coefficiente b del termine di 2° grado

Valutazione del polinomio di secondo grado approssimante

in seguito alle valutazioni fatte su indica il valore di b sotto forma di frazione algebrica e scrivi il polinomio di 1° grado, che meglio approssima, in, la funzione esponenziale:

Valutazione di natura geometrica per ricavare il coefficiente b del termine di 2° grado

Passiamo ad un altro tipo di valutazione, basato sull'area sottesa tra le due funzioni in un intervallo fissato. L'idea sulla quale si basa questa valutazione è che "più le due funzioni sono vicine", più l'area "racchiusa" tra le due funzioni è piccola; man mano che le due funzioni si avvicinano l'area diminuisce. Per questo tipo di valutazione , utilizziamo Geogebra:
  • Inserisci le due funzioni: la funzione esponenziale e il polinomio .
  • Scegli un intorno di 0, per esempio ,
  • usa il comando di Geogebra che si chiama IntegraleTra, per determinare l'area racchiusa tra le due funzioni nell'intervallo scelto.

Ti sembra che l'"idea" possa funzionare? ti sembra che la valutazione di b sia più accurata?

Miglioriamo il polinomio approssimante aggiungendo un termine di terzo grado.

Al fine di migliorare attraverso un polinomio l'approssimazione della funzione esponenziale , aggiungiamo un termine di terzo grado al precedente polinomio . Chiamiamo il coefficiente del termine di terzo grado . Ci limitiamo in questo caso ad una valutazione di tipo algebrico, come già fatto precedentemente Ripetiamo la valutazione di tipo numerico. Attribuisci alla gli stessi valori scelti precedentemente e compila la seguente tabella:
  • Prendiamo un valore di abbastanza vicino allo zero, per esempio
  •  calcoliamo la funzione esponenziale in :
  •  calcoliamo il valore del Polinomio di 3° grado in :
  • ricaviamo risolvendo la seguente equazione :
se risolviamo l'equazione rispetto a , otterremo . Se ripeti la stessa procedura per un valor di che si avvicina ulteriormente a 0, otterrai un valore di sempre più vicino al valore che permette al polinomio di approssimare meglio la funzione esponenziale. Usa il foglio excel per ricavare (con un'approssimazione di sei cifre decimali) per i seguenti valori : ;

Procedura per ricavare c

Valore del coefficiente c del termine di 3° grado del polinomio approssimante.

Dalla valutazione algebrica puoi dedurre il valore di . Scrivi tale valore decimale anche in forma frazionaria:

Scrivi il polinomio di terzo grado ottenuto:

Osservazioni sulle caratteristiche del polinomio approssimante

Confronta i polinomi usati per approssimare la funzione esponenziale intorno a : ; ; ; ; Come avrai notato, man mano che aumenta il grado del polinomio, l'approssimazione migliora. In altre parole: 1) il grafico del polinomio “tocca” quello di in con un contatto sempre più accurato man mano che aumenta il grado. 2) l’approssimazione è particolarmente buona vicino a x=0 e l’intervallo in cui il polinomio approssima bene la funzione si allarga aumentando il grado. Ma quale altra osservazione si potrebbe fare?

Osserva il segno dei termini

  • Confronta i polinomi usati per approssimare la funzione esponenziale intorno a : ; ; ; ;
  • 1) Che segno hanno tutti i termini dei polinomi?
  • 2) Vedi qualche termine con il segno meno?
  • 3) Secondo te potrebbe comparire un termine negativo nei prossimi polinomi?

    • Osserva le potenze di x

    Confronta i polinomi usati per approssimare la funzione esponenziale intorno a : ; ; ; ;

    1. Qual è la potenza di più alta che compare in ?
    2. Qual è la potenza più alta in ?
    3. Qual è la potenza più alta ina ?
    4. Che relazione c’è tra il numero del polinomio ​ e la potenza più alta di ?
    5. Quali potenze di compaiono nel polinomio ?
    6. Mancano potenze tra e ?

    Osserva i coefficienti

    Confronta i polinomi usati per approssimare la funzione esponenziale intorno a : ; ; ; ; Scrivi solo i coefficienti dei vari polinomi e, in particolare, quelli del polinomio: , , , , .... Domande:

    1. Cosa noti nei numeratori delle frazioni?
    2. I denominatori come cambiano?
    3. Che relazione c’è tra la potenza di e il numero nel denominatore?
    4. Qual è il denominatore del termine con ?
    5. Qual è quello del termine con ?
    6. Secondo te quale sarà quello del termine con ?

    Ipotizza come potrebbe essere il polinomio di 4° grado P_4(x)

    1. Quale sarà la potenza più alta di nel polinomio?
    2. Quali potenze di dovrebbero comparire?
    3. Che segno avranno i termini?
    4. Come sarà il coefficiente del termine con ?
    5. Se il termine con è , quale pensi che sia il termine con ?
    6. Scrivi il polinomio P_4(x)=

    La formula che esprime il polinomio approssimante

    Dopo aver ricavato il polinomio approssimante di terzo grado e dedotto il polinomio di 4° grado , possiamo intuire quale sia il polinomio che approssima la funzione Suggeriamo la formula che esprime il polinomio in parte già ricavato. Useremo il simbolo di Sommatoria La formula è la seguente: La funzione esponenziale può essere approssimata con una serie infinita, usando il simbolo di sommatoria. Si legge: “Somma, per k che va da 0 a infinito, di . Spieghiamo la formula:
    • 0 è il valore iniziale dell’indice ∞ indica che la somma continua all’infinito
    • Quindi stiamo sommando:
      • termine con k=0
      • termine con k=1
      • termine con k=2
      • termine con k=3, etc
    • L’indice k è la variabile che conta i termini della somma. Funziona come un contatore.
    • Ogni volta che k aumenta di 1, otteniamo un nuovo termine della serie.
    • Il fattoriale di un numero intero k si scrive k!. Definizione di fattoriale: k!=k⋅(k−1)⋅(k−2)⋯2⋅1
    • Per convenzione: 0!=1

    Scrivi i primi 10 termini del polinomio approssimante

    Vogliamo ora visualizzare con geogebra il polinomio approssimante

    Utilizza geogebra per visualizzare il polinomio approssimante. Segui le seguenti istruzioni:
    • inserisci
    • inserisci il polinomio nel seguente modo: usa la formula somma:
    La formula somma (espressione, variabile, valore iniziale, valore finale) rappresenta una sommatoria matematica (spesso indicata con il simbolo  - sigma maiuscolo), utilizzata per calcolare la somma dei valori di un'espressione al variare di una variabile tra un limite inferiore e uno superiore. inserisci : =somma() , è uno slider che automaticamente comparirà, che ti permetterà di aumentare a tuo piacere i termini della somma e avere polinomi che sempre più si adagiano sulla funzione esponenziale intorno allo zero. Nelle impostazioni dello slider assegna ad come valore minimo lo zero e come valore massimo un valore alto, per esempio 50. Ti accorgerai che il polinomio con un grado alto , approssimerà molto bene la funzione esponenziale non solo in un intorno di

    Visualizzazione del polinomio approssimante la funzione esponenziale al variare del grado attraverso Geogebra

    Considerazioni finali.

    Cosa puoi dire a conclusione del percorso effettuato? fai le tue considerazioni

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