Normales a una elipse por un punto
Trazar la normal a una elipse por uno de sus puntos es sencillo: es la bisectriz de los radios vectores del punto (los segmentos que los unen con los focos), o la perpendicular a la tangente, que puede determinarse fácilmente mediante el cáculo diferencial.
El problema de hallar las normales desde un punto que no pertenece a la elipse es más complejo, porque pueden ser hasta 4, y requiere en el caso general resolver una ecuación de 4º grado, por lo que no puede resolverse con regla y compás.
Aquí se ha utilizado una elipse Ω centrada en el origen y con sus focos F y F' en el eje Ox, de ecuación x²/a² + y²/b² = 1. Lo que se ha hecho es buscar los puntos Ti de la elipse en los que el segmento TiP tiene pendiente -1/(2mi), sindo mi la derivada de y respecto de x en Ti. Se obtienen una ecuación de 4º grado en una de las variables y a continuación debe elegirse el signo adecuado para la otra, y = ±(b/a)√(a²-x²).
El polinomio de 4º grado esta representado en color magenta, aunque no se vea completa su gráfica y en ocasiones parezca un par de rectas verticales. Sus raíces, los pequeños puntos blancos en el eje Ox, representan las abscisas de los puntos Ti. Aparte de ser reales, deben estar en el interval [-a, a] para que correspondan a puntos Ti reales.
La evoluta ω es el lugar geométrico de los centros de curvatura y la envolvente de las rectas normales, de manera que estas son tangentes a ella. Desde su interior se pueden trazar 4 normales a Ω y desde su exterior 2. Desde la propia evoluta ω, 3.
Pueden cambiarse los semiejes de Ω, 0 ≤ a ≤ 5, 0 ≤ b ≤ a, desplazando los vértices A y B, con los deslizadores o mediante las casillas de entrada correspondientes. Igualmente puede desplazarse el punto P, o introducir sus coordenadas en la correspondiente caja de entrada.
Utilizando los botones de la derecha, puede hacerse que el punto se mueva automaticmente por la elipse Ω, por la evoluta ω o por una circunferencia δ de radio modificable. Pulsando el botón 'P libre' se para la animación y puede moverse el punto P nuevamente con el ratón. También puede moverse, con la animación parada en cualquiera de los cuatro modos, seleccionándolo con el ratón y manteniendo pulsada cualquiera de las cuatro teclas de dirección (flechas), solas o en combinación con las teclas [Alt], [Ctrl] o [Mayús], lo que multiplica la velocidad de movimiento por 100, 10 o 0.1.
Uno de los segmentos rojos representa la distancia máxima de P a la Ω, y otro la mínima. Cuando hay 4, los otros dos corresponden a máximos/mínimos relativos. Sus valores se ven en la parte inferior como d(P, Ti).
¿Cuales son las coordenadas de los vértices de la evoluta ω?
¿Cuántas normales pueden trazarse desde los focos F y F'? ¿Para cualquier elipse?
¿Cuál es la distancia mínima/máxima de cualquier punto de la elipse a uno de los focos?
Desde puntos situados en los diámetros, ¿la distancia mínima/máxima siempre es a los vértices?
¿Qué ocurre si la elipse es una circunferencia (a=b)?