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Dalla formula di Eulero ai numeri complessi

Autor:Roberta Ingitti, Franca Donato

INTERPRETAZIONE TRIGONIMETRICA di e^(ix)

La formula di Eulero: a cui siamo giunti trovando i polinomi approssimanti le tre funzioni y=e^x , y=cosx e y=senx e introducendo l'unità immaginaria e le sue potenze è una relazione molto potente perché unisce importanti oggetti matematici:
  • la funzione esponenziale
  • la funzione coseno
  • la funzione senx
  • l'unità immaginaria i
in un’unica formula scoperta da Leonhard Euler. Le funzioni cosx e senx sono 'nascoste' in una particolare funzione esponenziale: .

Ma che tipo di oggetto è tipo di oggetto è ? Un numero reale o qualcosa di diverso?

Possiamo disegnarlo come facevamo con ?

    La scrittura che hai suggerito per indicare le due parti del numero ricorda qualcosa?
dai almeno due indicazioni:

Separiamo le parti

Se il numero ha due parti, come possiamo descriverlo? ( ; )

Dove rappresentiamo normalmente coppie di 'numeri'?

Nascita del piano complesso

Nel nostro caso la coppia di numeri non può essere rappresentato su un normale piano cartesiano perché il primo numero è effettivamente un numero reale e quindi lo potrei inserire su un asse orizzontale in cui ci sono i 'semplici' numeri reali; il secondo numero della coppia invece, pur essendo un numero reale, è associato all'unità immaginaria i ( ) pertanto ...è davvero la stessa cosa di un numero reale? Fai le tue considerazioni.

Per risolvere il 'problema' considera lo stesso piano cartesiano e prova a dare un nuovo significato agli assi; fai una proposta: 1) cosa metteresti sull'asse delle ascisse? 2) cosa metteresti sull'asse delle ordinate?

INTERPRETAZIONE ALGEBRICA

Torniamo alla formula di Eulero: Se scriviamo questo numero nella forma , 1) quali sono e ? 2) per un fissato, cosa sono e ?

z=e^(ix) come punto nel piano complesso

Nel piano complesso un numero corrisponde al punto Quindi il numero corrisponde al punto  .

e^(ix) come punto che ruota

Dove si trovano nel piano complesso tutti i punti della forma ?

Dai una verifica formale di ciò che affermi

Il movimento del punto (cosx; sinx)

Immagina che varia assumendo i valori suggeriti nella tabella, scrivi per ogni il punto corrispondente: -----------|-------------- | | | | | | |

    Che traiettoria descrivono questi punti che in qualche modo rappresentano ? Che tipo di movimento sembra?

Usando la finestra grafici di geogebra inserita sotto: Crea uno slider per : Seleziona lo strumento Slider (nella barra degli strumenti). Clicca su un punto qualsiasi del piano.

  • Imposta:
  • Nome: t
  • Intervallo: da 0 a 2π
  • Incremento: ad esempio 0.01 Conferma.
Ora hai un cursore che rappresenta un angolo in radianti. Creare il punto dinamico
  • Nella barra di inserimento scrivi:
  • A=(cos(t), sin(t))
  • Premi Invio.
Vedrai comparire il punto A che si muove al variare di . Attivare la traccia del punto
    Per vedere la “scia” del punto:Clic destro su A → seleziona Attiva traccia
Muovendo lo slider, il punto disegnerà una figura. Animare lo slider
    Clic destro sullo slider a Seleziona Animazione attiva
Il punto inizierà a muoversi automaticamente. Rispondi nella finestra risposta sotto:
  • Che figura disegna il punto A?
  • Qual è il raggio di questa figura?
  • Dove si trova il centro?
Verifica se le ipotesi che avevi fatto osservando i punti della tabella concordano con ciò che vedi al variare dello slider. Continua nella stessa finestra grafici di geogebra inserita sotto: Disegnare la circonferenza di riferimento
  • Inserisci: c: x^2+y^2=1
In questo modo vedrai che il punto P si muove proprio su tale circonferenza. Mostrare l’angolo
  • Crea un punto: B = (1, 0)
  • Usa lo strumento Angolo tra:
    • origine (0,0)
    • B
    • A
per visualizzare l’angolo t.

Disegno dinamico

INTERPRETAZIONE GEOMETRICA

Dopo queste considerazioni, come descriveresti quindi da un punto di vista geometrico?

INTERPRETAZIONE VETTORIALE

Se dovessi immaginare come un vettore nel piano complesso: 1) che modulo gli assoceresti? 2) quale angolo (detto argomento) gli assoceresti per indicare la sua direzione? 3) cosa fa il vettore al variare dell'argomento?

SINTESI FINALE

Grazie alla formula di Eulero abbiamo visto che possiamo leggere in diversi modi. Scrivi sinteticamente le interpretazioni di su cui hai avuto modo di riflettere durante questo percorso, esplicitando, in particolare, le seguenti interpretazioni:

  • trigonometrica (legame con e )
 rappresenta un numero complesso ... le cui componenti sono: parte reale: ... parte immaginaria: ... quindi è un modo compatto per esprimere...
  • algebrica o cartesiana
il numero z rappresenta un numero complesso nella forma ... le cui componenti sono: parte reale: ... parte immaginaria: ... quindi è un modo algebrico
  • geometrica (legame con la circonferenza)
Nel piano complesso (piano di Piano di Argand-Gauss): è un punto sulla ... di raggio ... forma un angolo con l’asse... quindi è un punto appartenente ad una figura geometrica
  • vettoriale (rotazioni)
Possiamo vedere (e^{ix}) come un vettore: di lunghezza ... direzione determinata dall’angolo... Ripercorri sotto la sintesi introducendo le parti mancanti.

Fai le tue considerazioni in relazione all'attività svolta:

unifica:

  • trigonometria (seno e coseno)
  • algebra (numeri complessi)
  • geometria (circonferenza)
  • vettori (rotazioni)
secondo te, quali tipi di fenomeni potrebbero essere descritti con l'uso di questo strumento 'potentissimo'?

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