Hochpunkt, Tiefpunkt oder Sattelpunkt?

Einleitung und Anleitung für die Bearbeitung des Arbeitsblattes:

Einleitung und Ausgangsfrage: In diesem Arbeitsblatt gehen wir der Frage nach, wie Hoch- und Tiefpunkte, auch Extrempunkte genannt, einer ganzrationalen Funktion rechnerisch ermittelt werden können und wie man rein rechnerisch beurteilen kann, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt. Ein weiterer besonderer Punkt mit dem man im Zuge dieser Frage unweigerlich konfrontiert wird, ist der sogenannte Sattelpunkt. Wir werden im Zuge des Arbeitsblattes auch lernen, was es mit diesem Punkt auf sich hat. Anleitung: Gehe das Arbeitsblatt schrittweise von oben nach unten durch. Sprich: Scrolle zu Beginn nicht einfach nach unten! Vertraue darauf, dass sich beim Erstellen des Arbeitsblattes jemand Gedanken gemacht hat ;-) und du durch die Bearbeitung der Aufgaben Schritt für Schritt zu einer Antwort der Ausgangsfrage geleitet wirst.

Bevor es richtig los geht (Startbedingungen):

Für eine erfolgreiche Bearbeitung der Aufgaben ist es unerlässlich, dass du in der Lage bist ganzrationale Funktionen rechnerisch abzuleiten. Überprüfe dich mit Hilfe der folgenden Aufgaben selbst.

Bestimme jeweils die korrekte Ableitungsfunktion zur gegebenen Bestandsfunktion

Wähle alle richtigen Antworten aus
  • A
  • B
  • C
  • D
Antwort überprüfen (3)

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  • A
  • B
  • C
  • D
Antwort überprüfen (3)

Wähle alle richtigen Antworten aus
  • A
  • B
  • C
  • D
  • E
Antwort überprüfen (3)

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  • B
  • C
Antwort überprüfen (3)

Jetzt zurück zur Ausgangsfrage!

Wie kann man Extrempunkte rechnerisch ermitteln und jeweils beurteilen, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt? Betrachten wir zum Beispiel folgende Funktion: Deine Aufgabe ist es alle Hoch- und Tiefpunkte dieser Funktion rechnerisch zu ermitteln.

Schritt 1: Erinnerst du dich noch daran, was eine Besonderheit an Hoch- und Tiefpunkten ist?!

Schaue dir dafür ggf. Abbildung 1 an und bearbeite die nachfolgenden Aufgaben. Überprüfe nach Bearbeitung der Aufgaben deine Ergebnisse durch Einblenden der Musterlösung.

Abbildung 1

Abbildung 1

Aufgabe 1:

Benenne, wie viele Extrempunkte die betrachtete Funktion in Abbildung 1 aufweist. Benenne weiterhin wie viele Hochpunkte und wie viele Tiefpunkte darunter enthalten sind.

Aufgabe 2:

Benenne, welche Steigung die angelegten Tangenten an den jeweiligen Extrempunkten haben und erläutere kurz den Zusammenhang zwischen Tangentensteigung und Ableitung.

Aufgabe 3:

Benenne, welchen Wert die Ableitung an Extrempunkten annimmt und formuliere in Form einer Gleichung eine Bedingung für den Wert der Ableitung an Extrempunkten.

Schritt 2: Mit Kenntnis über die notwendige Bedingung für die Berechnung von Extrempunkten zurück zum Ausgangsbeispiel

Ausgangsbeispiel:

Aufgabe 4:

Bestimme zunächst die erste Ableitung von f(x).

Aufgabe 5:

Bestimme mit Hilfe der notwendigen Bedingung alle x-Werte, an denen potentiell ein Extrempunkt vorliegen könnte.

Schritt 3: Jetzt muss nur noch geklärt werden, ob an diesen Stellen tatsächlich Extrempunkte vorliegen und welche Art von Extrempunkt dies jeweils ist

Dies kann kann zum Beispiel durch genauere Betrachtung der ersten Ableitung geschehen. Schaue dir dazu Abbildung 2 an und bearbeite die nachfolgenden Aufgaben.

Abbildung 2

Aufgabe 6:

Beschreibe mit Hilfe von Abbildung 2 wie sich die Ableitungsfunktion (durch Häkchen aktivieren) in der Umgebung des eingezeichneten Tiefpunktes (links und rechts daneben) verhält. Was geschieht dabei mit dem Wert der Ableitung?

Aufgabe 7:

Beschreibe mit Hilfe von Abbildung 3 wie sich der Wert der Ableitung in der direkten Umgebung eines Hochpunktes verhält.

Abbildung 3

Abbildung 3

Aufgabe 8:

Formuliere mit Hilfe deines Wissens über den Vorzeichenwechsel der Ableitung in der Umgebung von Extrempunkten eine Regel / ein Kriterium zur Beurteilung, ob es sich bei einem Extrempunkt um einen Hoch- / oder einen Tiefpunkt handelt.

Aufgabe 9:

Erläutere anhand von Abbildung 4 was man unter einem Sattelpunkt versteht und erkläre, was hier bezüglich des Vorzeichens der Ableitung zu beachten ist (Ist das Vorzeichenwechselkriterium für einen Sattelpunkt erfüllt?)

Abbildung 4

Aufgabe 10:

Wieder zurück zum Ausgangsproblem: Beurteile nun mit Hilfe des Vorzeichenwechselkriteriums für welchen der über die notwendige Bedingung ermittelten x-Werte ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt vorliegt. Für x-Werte siehe Lösung Aufgabe 5!

Aufgabe 11:

Da die Ausgangsfrage auf Extrempunkte (und Sattelpunkte) bezogen war, müssen noch die y-Koordinaten der jeweiligen Punkte ermittelt werden. Berechne für die ermittelten Hoch-, Tief- und Sattelpunkte die dazugehörigen y-Werte und gib die entsprechende Punkte vollständig an.

Blick auf die Funktion (Ergebniskontrolle)

In der nachfolgenden pdf-Datei kannst du dir die Ausgangsfunktion f(x) mit den berechneten Hoch-, Tief- und Sattelpunkten zur abschließenden Kontrolle anschauen.

Darstellung der Ausgangsfunktion f(x)