Alt kümeler ve kombinasyonlar
Kümelerde Temel Kavramlar
A kümesi Ahmet’in odasında bulunan eşyalar olsun.
A={kitaplık,saat,masa,ayna,yatak} s(A)=5 Eleman sayısı 5’dir.
Bu kümeyi ortak özellik yöntemiyle şöyle gösteririz.
A={eşya│Ahmet’in odasında bulunanlar}
“│” öyleki anlamına gelir ve “:” şeklindede gösterilir.
Eleman sayısı doğal sayı ile ifade edilebilen kümelere sonlu küme denir.
B={x:x <100 ve x asal sayı}
Burada 100’den küçük asal sayılar dediğine göre sayarak kaç tane olduğunu bulabiliriz.Yani sonlu kümedir.
Eleman sayıları doğal sayı ile ifade edilemeyen kümelere sonsuz elemanlı küme denir.
C={x : x asal sayı}
Burada asal sayılar diyor.
Asal sayıları sayarak bulmamız çok zor çünkü bir sürüdür.Yani sonsuz elemanlı kümedir.
Elemanı olmayan kümeye boş küme denir. { } veya Ø sembolü ile gösterilir.
A={a,b,c,d,e}
B={c,d,e}
Görüldüğü gibi B’nin her elemanı A’nında elemanıdır.
B
A olarak gösterilir.
Boş küme her kümenin alt kümesidir.
Her küme kendisinin alt kümesidir.
Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.
D={1,2,3,4} s(D)=4
C={a,b,c,d} s(C)=4
O zaman C≡D deriz.
Elemanları aynı olan kümelere eşit kümelerdenir.
A={a,b,c,d,e}
B={a,b,c,d,e}
O zaman C=D deriz.
Alt Küme Sayısı
n elamanlı bir kümenin alt küme sayısı 2n formülüyle bulunur.
Bir kümenin kendisi hariç alt kümelerine özalt kümeleri denir.2n-1 formülüyle bulunur.
Örnek: A ={a,b,{b,c},c,{b},{a,c}}
Kümenin elaman sayısı s(A)=6
Kümenin alt küme sayısı 2n=26=64
Kümenin özalt küme sayısı 2n-1=26-1=64-1=63
n elemanlı sonlu bir kümenin r elemanlıher alt kümesine n’nin r’li kombinasyonudenir.
(n,r)=n!/(n-r)!.r! formülünü kullanırız.
Örnek: A={a,b,c,d,e} kümesinin 4 elemanlı alt küme sayısı,
(n,r)=n!/(n-r)!.r!
(5,4)=5!/(5-4)!.4!
(5,4)=1.2.3.4.5/1.1.2.3.4 = 5
5 tane 4 elemanlı alt kümesi vardır.
Örnek: A={1,2,3,4,5,6,7} verilen küme için soruları cevaplayalım.
a) Alt kümelerinin kaç tanesinde 5 eleman olarak bulunmaz.
26=64
b) Alt kümelerinin kaç tanesinde 7 eleman olarak bulunur.
26=64
c) Alt kümelerinin kaç tanesinde 3 veya 4 eleman olarak bulunmaz.
Burada hepsinden 3 ve 4'ün elaman olarak bulunduğu durumu çıkartırsak 27-25=128-32=96
d) Alt kümelerinin kaç tanesinde 3 veya 4 eleman olarak bulunur.
27-25=128-32=96
e) Alt kümelerinin kaç tanesinde 3 ve 4 eleman olarak bulunmaz.
27-25=128-32=96
f) Alt kümelerinin kaç tanesinde 3 ve 4 eleman olarak bulunur.
25=32
g) 4 elemanlı alt kümeleri kaç tanedir?
(7,4)’lü kombinasyonu (7,4)=35
h) 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 3 bulunur.
(6,3)’lü kombinasyonu (6,3)=20
k) 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 2 bulunmaz.
(6,4)’lü kombinasyonu (6,4)=15
l) 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 5 ve 6 bulunur.
(5,2)’li kombinasyonu (5,2)=10
m) 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 2 bulunur 7 bulunmaz.
(5,3)’lü kombinasyonu (5,3)=10
n) En çok 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
(n,0)+(n,1)+(n,2)= (7,0)+(7,1)+(7,2)=1+7+21=29
o) En az 5 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
(n,n)+(n,n-1)+(n,n-2)= (7,7)+(7,6)+(7,5)=1+7+21=29
A olarak gösterilir.
Boş küme her kümenin alt kümesidir.
Her küme kendisinin alt kümesidir.
Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.
D={1,2,3,4} s(D)=4
C={a,b,c,d} s(C)=4
O zaman C≡D deriz.
Elemanları aynı olan kümelere eşit kümelerdenir.
A={a,b,c,d,e}
B={a,b,c,d,e}
O zaman C=D deriz.
Alt Küme Sayısı
n elamanlı bir kümenin alt küme sayısı 2n formülüyle bulunur.
Bir kümenin kendisi hariç alt kümelerine özalt kümeleri denir.2n-1 formülüyle bulunur.
Örnek: A ={a,b,{b,c},c,{b},{a,c}}
Kümenin elaman sayısı s(A)=6
Kümenin alt küme sayısı 2n=26=64
Kümenin özalt küme sayısı 2n-1=26-1=64-1=63
n elemanlı sonlu bir kümenin r elemanlıher alt kümesine n’nin r’li kombinasyonudenir.
(n,r)=n!/(n-r)!.r! formülünü kullanırız.
Örnek: A={a,b,c,d,e} kümesinin 4 elemanlı alt küme sayısı,
(n,r)=n!/(n-r)!.r!
(5,4)=5!/(5-4)!.4!
(5,4)=1.2.3.4.5/1.1.2.3.4 = 5
5 tane 4 elemanlı alt kümesi vardır.
Örnek: A={1,2,3,4,5,6,7} verilen küme için soruları cevaplayalım.
a) Alt kümelerinin kaç tanesinde 5 eleman olarak bulunmaz.
26=64
b) Alt kümelerinin kaç tanesinde 7 eleman olarak bulunur.
26=64
c) Alt kümelerinin kaç tanesinde 3 veya 4 eleman olarak bulunmaz.
Burada hepsinden 3 ve 4'ün elaman olarak bulunduğu durumu çıkartırsak 27-25=128-32=96
d) Alt kümelerinin kaç tanesinde 3 veya 4 eleman olarak bulunur.
27-25=128-32=96
e) Alt kümelerinin kaç tanesinde 3 ve 4 eleman olarak bulunmaz.
27-25=128-32=96
f) Alt kümelerinin kaç tanesinde 3 ve 4 eleman olarak bulunur.
25=32
g) 4 elemanlı alt kümeleri kaç tanedir?
(7,4)’lü kombinasyonu (7,4)=35
h) 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 3 bulunur.
(6,3)’lü kombinasyonu (6,3)=20
k) 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 2 bulunmaz.
(6,4)’lü kombinasyonu (6,4)=15
l) 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 5 ve 6 bulunur.
(5,2)’li kombinasyonu (5,2)=10
m) 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 2 bulunur 7 bulunmaz.
(5,3)’lü kombinasyonu (5,3)=10
n) En çok 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
(n,0)+(n,1)+(n,2)= (7,0)+(7,1)+(7,2)=1+7+21=29
o) En az 5 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
(n,n)+(n,n-1)+(n,n-2)= (7,7)+(7,6)+(7,5)=1+7+21=29