Alt kümeler ve kombinasyonlar

Kümelerde Temel Kavramlar A kümesi Ahmet’in odasında bulunan eşyalar olsun. A={kitaplık,saat,masa,ayna,yatak}   s(A)=5   Eleman sayısı 5’dir. Bu kümeyi ortak özellik yöntemiyle şöyle gösteririz. A={eşya│Ahmet’in odasında bulunanlar} “│” öyleki anlamına gelir ve “:” şeklindede gösterilir. Eleman sayısı doğal sayı ile ifade edilebilen kümelere sonlu küme denir. B={x:x <100 ve x asal sayı} Burada 100’den küçük asal sayılar dediğine göre sayarak kaç tane olduğunu bulabiliriz.Yani sonlu kümedir. Eleman sayıları doğal sayı ile ifade edilemeyen kümelere sonsuz elemanlı küme denir. C={x : x asal sayı} Burada asal sayılar diyor. Asal sayıları sayarak bulmamız çok zor çünkü bir sürüdür.Yani sonsuz elemanlı kümedir. Elemanı olmayan kümeye boş küme denir. { } veya Ø sembolü ile gösterilir. A={a,b,c,d,e}   B={c,d,e}    Görüldüğü gibi B’nin her elemanı A’nında elemanıdır. B A olarak gösterilir. Boş küme her kümenin alt kümesidir. Her küme kendisinin alt kümesidir. Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir. D={1,2,3,4}   s(D)=4   C={a,b,c,d}     s(C)=4 O zaman C≡D deriz.   Elemanları aynı olan kümelere eşit kümelerdenir. A={a,b,c,d,e}   B={a,b,c,d,e} O zaman C=D deriz. Alt Küme Sayısı n elamanlı bir kümenin alt küme sayısı 2n formülüyle bulunur. Bir kümenin kendisi hariç alt kümelerine özalt kümeleri denir.2n-1 formülüyle bulunur. Örnek: A ={a,b,{b,c},c,{b},{a,c}} Kümenin elaman sayısı s(A)=6 Kümenin alt küme sayısı 2n=26=64 Kümenin özalt küme sayısı 2n-1=26-1=64-1=63   n elemanlı sonlu bir kümenin r elemanlıher alt kümesine n’nin r’li kombinasyonudenir. (n,r)=n!/(n-r)!.r!     formülünü kullanırız. Örnek: A={a,b,c,d,e} kümesinin 4 elemanlı alt küme sayısı, (n,r)=n!/(n-r)!.r! (5,4)=5!/(5-4)!.4! (5,4)=1.2.3.4.5/1.1.2.3.4 = 5 5 tane 4 elemanlı alt kümesi vardır. Örnek: A={1,2,3,4,5,6,7} verilen küme için soruları cevaplayalım. a) Alt kümelerinin kaç tanesinde 5 eleman olarak bulunmaz. 26=64 b) Alt kümelerinin kaç tanesinde 7 eleman olarak bulunur. 26=64 c) Alt kümelerinin kaç tanesinde 3 veya 4 eleman olarak bulunmaz. Burada hepsinden 3 ve 4'ün elaman olarak bulunduğu durumu çıkartırsak 27-25=128-32=96 d) Alt kümelerinin kaç tanesinde 3 veya 4 eleman olarak bulunur. 27-25=128-32=96 e) Alt kümelerinin kaç tanesinde 3 ve 4 eleman olarak bulunmaz. 27-25=128-32=96 f) Alt kümelerinin kaç tanesinde 3 ve 4 eleman olarak bulunur. 25=32 g) 4 elemanlı alt kümeleri kaç tanedir? (7,4)’lü kombinasyonu (7,4)=35 h) 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 3 bulunur. (6,3)’lü kombinasyonu (6,3)=20 k) 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 2 bulunmaz. (6,4)’lü kombinasyonu (6,4)=15 l) 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 5 ve 6 bulunur. (5,2)’li kombinasyonu (5,2)=10 m) 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 2 bulunur 7 bulunmaz. (5,3)’lü kombinasyonu (5,3)=10 n) En çok 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır? (n,0)+(n,1)+(n,2)= (7,0)+(7,1)+(7,2)=1+7+21=29 o) En az 5 elemanlı alt küme sayısı kaçtır? (n,n)+(n,n-1)+(n,n-2)= (7,7)+(7,6)+(7,5)=1+7+21=29