Hipérbolas equiláteras circunscritas a un triángulo
Las hipérbolas equiláteras circunscritas a un triángulo ∆ABC pasan por su ortocentro H y tienen su centro en la circunferencia de los nueve puntos de ∆ABC, c9. El cuarto punto P, además de los vértices, en que la hipérbola corta a la circunferencia circunscrita cC es el simétrico de H respecto del centro Q de la hipérbola.
Los puntos del infinito de la hipérbola, que indican la dirección de sus asíntotas, son los conjugados isogonales de los puntos de intersección del diámetro con dirección el conjugado isogonal de P con cC(1)
Sea ahora P cualquier punto del plano y Q(P) el centro de la hipérbola hP circunscrita al triángulo y que pasa también por el punto P. Entonces, Q(I) = T y Q(IA) = TA. Es decir, la que pasa por el centro de la circunferencia inscrita/exinscrita, tiene su centro en el punto de contacto de esta circunferencia con la circunferencia c9.
Se puede hacer zoom y/o desplazar toda la imagen, así como los vértices A, B y C. También puede pararse la animación y mover el punto P en cC. Nótese que el ortocentro del ∆ABH es el vértice C y que su circunferencia de los nueve puntos es la misma que la del ∆ABC. E igualmente para los otros vértices.
Q(A), Q(B), Q(C) y Q(H) están indefinidos. Si P es otro punto cualquiera de un lado, la hipérbola degenera en el lado y la altura correspondiente, con lo que Q(P) es el pie de la altura sobre el lado.
1 Sea hP una hipérbola equilátera circunscrita al ∆ABC, y que pasa por P, punto de la circunferencia circunscrita cC distinto de los vértices. El conjugado isogonal de P, será un punto J→ de la recta del infinito r∞. Entonces hP es la transformada isogonal de la recta OJ→ que pasa por el circuncentro O y tiene la dirección de J→.
Como la cC es la transformada isogonal de r∞, los conjugados isogonales de los puntos del infinito de hP serán los puntos de intersección U y V de OJ→ con cC. Es decir,
Puntos del infinito de hP = hP ⋀ r∞
= conjugados isogonales de {transformada isogonal de hP ⋀ transformada isogonal de r∞}
= conjugados isogonales de {OJ→ ⋀ cC}
Comunicación personal de Francisco Javier García Capitán.