L'angolo unitario
I matematici capirono, nella prima metà del 1700, che potevano estendere le funzioni reali (applicazioni che in cambio di un numero reale in ingresso forniscono un numero reale in uscita) al campo complesso. Nacque così la teoria delle funzioni di variabile complessa, applicazioni cioè che in cambio di un numero complesso restituiscono un numero complesso. Per entrare in questo campo, serve qualche nozione di calcolo, o sulle serie di potenze, quindi dobbiamo soprassedere. Una di queste funzioni dobbiamo però menzionarla, per il ruolo tutto speciale che gioca: l'esponenziale complesso, in particolare, un numero reale elevato ad una potenza puramente immaginaria, tipo .
Abbiamo già visto che l'elevazione a potenza intera di un numero di modulo 1 corrisponde ad una rotazione.
in formule,
nota come "formula di de Moivre". In realtà è stata dimostrata da Eulero nel 1736, ma de Moivre nel 1730 era arrivato ad un'espressione simile.
Con qualche cautela per evitare i problemi dovuti alla molteplicità delle radici, si può generalizzare questa formula agli esponenti reali, ottenendo
,
che si interpreta dicendo che individua l'angolo unitario.
Ma questa scrittura è interessante anche per un altro motivo: permette di rappresentare seno e coseno in termini di un esponenziale. Eulero ha mostrato che il numero , che gioca il ruolo di "unità di misura", può essere riscritto in maniera sorprendente.