elliptische Funktion

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Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene. (August 2019) Kapitel: "Spezielle komplexe Funktionen"

Elliptische Funktionen sind komplex-differenzierbare Funktionen, welche einer Differential-Gleichung des Typs genügen
Liegt einer der Nullstellen - wir sagen "Brennpunkte" - in , so liegt eine WEIERSTRAßsche -Funktion vor. Die oben angezeigten implizit definierten konfokalen bizirkularen Quartiken sind Lösungen der Differentialgleichung für die reellen Brennpunkte . Die impliziten Gleichungen lauten:
  • , wobei die Brennpunkte und die Scheitel festlegen.
Zwei der Kurven sind möbiusgeometrisch CASSINI-Quartiken. Siehe die Kapitel Hermitesche Abbildungen und bizirkulare Quartiken und Quadratische Vektorfelder oder elliptische Funktionen Leider kann man (in geToolbar Imagegebra?) die Kurven nicht mit einer explizit gegebenen komplexen Funktion anzeigen wie zB. die zu oder gehörenden Kurven. 4 verschiedene Punkte auf einem Kreis besitzen stets 4 Symmetrie-Kreise (einer davon ist imaginär!). Sie lassen sich mit Hilfe einer Möbius-Transformation so anordnen wie im Applet angezeigt. Zu jeder Symmetrie gehören 2 Scheitelkreise; spiegelt man einen ausgewählten Brennpunkt (hier f), an diesen Scheitelkreisen, so erhält man Punkte der zugehörigen Leitkreise. Diese liegen in einem elliptischen Kreisbüschel mit den Grundpunkten f und f#;
f# erhält man als Spiegelbild von f an den Leitkreisen! Fällt f# mit oder mit 1 zusammen, so ist die zugehörige Quartik Möbiustransformierte einer CASSINI-Quartik. Gleichungen:
  • Leitkreis zur y-Achsen-Symmetrie:
  • Leitkreis zur Symmetrie am Einheitskreis:
  • Leitkreis zur elliptischen Symmetrie:
  • f#:
  •  f# = , dann ist und man erhält die CASSINI-Gleichung . Die CASSINI-Quartik kann man mit Wurzelfunktion "konstruieren"!
  • f# = 1, dann ist und man erhält die Gleichung
Die übrigen Quartiken können mit Hilfe der Leitkreise "konstruiert" werden! Die Gleichungen wurden ohne großen Aufwand mit der längst vergangenen CAS-Software berechnet!

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