Fläche zwischen 2 Funktionsgraphen
Definition: Flächeninhalt zwischen 2 Funktionsgraphen
In diesem Kapitel lernt ihr wie man den Flächeninhalt zwischen Kurven berechnet.
Zuerst wollen wir den Flächeninhalt einer Fläche bestimmen, das oben durch die Funktion f(x), unten durch die Funktion g(x) und links und rechts durch das Intervall [a,b] begrenzt ist. Die Intervalgrenzen a und b sind die Schnittpunkte der beiden Funktionen.
Da die Funktionen f(x) und g(x) beliebige Funktionen sind, müssen wir den Flächeninhalt in der Regel mithilfe eines Integrals bestimmen.
Sind f und g auf dem gesamten Intervall [a,b] stetig und die Werte von f immer größer oder gleich den Werden von g: f(x) ≥ g(x), so ist der Flächeninhalt des Gebiets zwischen den Kurven f(x) und g(x) von a und b das Integral über (f – g) von a bis b:
A=
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Durch die Darstellung der Funktionen können Sie jetzt erkennen, welche Kurve die obere Kurve f und welche die untere Kurve g ist. Nun können Sie anhand der Skizze die Integrationsgrenzen erkennen, sofern diese nicht vorab gegeben sind. Oftmals ist es jedoch der Fall, dass man für die Bestimmung der Integrationsgrenzen die Schnittpunkte der beiden Graphen bestimmen müssen. Dafür müssen die beiden Funktionen gleichgesetzt f(x) = g(x) und die Gleichung muss nach x aufgelöst werden.
Wenn die Integrationsgrenzen bestimmt sind, kann man die Funktion (f – g) integrieren, um den Flächeninhalt zwischen den Schnittpunkten zu berechnen.
Um ein besseres Verständnis gegenüber der Berechnung der Fläche zwischen Kurven zu erhalten, wird hier die Vorgehensweise anhand eines Beispiels genau dargestellt.
Gegeben sind Funktionen f(x)=-x^2+9 und g(x)=2x+6