Zahlenspielereien
Mathematikolympiade 2009 in Großbritannien
Mathematikolympiaden sind für diejniegen gemacht, die Spaß an Mathematik haben, und das sind nicht unbedingt wenige. Die Aufgaben sind unterschiedlich schwierig und aus unterschiedlichen Teilgebieten der Mathematik ausgesucht. Das folgende Beispiel ist in einem Facebook Video gelöst worden.
Die Aufgabe lautete:
Finde alle ganzzahligen positiven Werte für a und b, so dass die Gleichung erfüllt ist.
Gleichung mit Wurzeln sind in der Schule nicht gern gesehen, und in dieser Form schon gar nicht. Dieses Applet zeigt, wie man sich mit Schüler: innen unter Zuhilfenahme digitaler Werkzeuge der Lösung näheren kann, ohne gleich zum Mathematikolympioniken zu werden.
Dabei muss man voraussetzen, dass diese Gleichung überhaupt Lösungen im Sinne der Aufgabenstellung hat, was nicht sofort klar ist, denn der Zahlenwert , was mitnichten eine Ganzzahl ist. Gibt man die Gleichung in das CAS-Fenster bei GeoGebra ein, stellt man fest, dass daraus eine andere Gleichung wird (1):
Da gilt es zu klären, was man unter Rückgriff auf die Wurzelgesetze ab Klasse 10 tun kann.
Da ist, muss 49*41 als Ergebnis 2009 ergeben, was man leicht nachrechnen kann.
Damit ist der Radikand ein Produkt aus einer Quadratzahl und einer Primzahl. Dasselbe muss auch für die Radikanden a und b gelten, und es muss die Zahl 41 enthalten sein. Es ergibt sich:
a= 41x2 und b = 41y2, also wird die Gleichung zu:
Durch Anwenden der Wurzelgesetze ergibt sich die geschmeidigere Gleichung: x + y = 7
Jetzt lassen sich zwei Wertetabellen erstellen, einmal für x und y und einmal für a und b.
Daraus ergeben sich folgende Wertepaare:
1: (0,2009)
2: (41, 1476)
3: (164, 1025)
4: (369, 656)
5: (656,369)
6: (1025,164)
7: (1476,41)
8: (2009,0)
Trägt man diese Werte in Koordinatensystem ein, und trägt auf der x-Achse die Werte für a ein und auf der y-Achse die Werte für b, ist eine gewisse Symmetrie zu erkennen, die auf eine Parabel schließen lassen, da sich die Werte symmetrisch zwischen 4 und 5 bewegen.
Ist den Schüler: innen bekannt, dass eine Parabel ein Kegelschnitt ist, kann man mit dem Werkzeug Kegelschnitt durch 5 Punkte, fünf Punkte auswählen und überprüfen, dass alle 8 Punkte auf diesem Graphen liegen. Unter Eigenschaften verrät uns dann GeoGebra als Orakel, dass diese Kurve eine Parabel ist.
letzte Aktualisierung: 07.11.2023 Veröffentlicht: 3|14 2026
2023 - geht auch?
Wenn man jetzt tiefer einsteigen will und kann, untersucht man die Zahlen z, für die gilt:
z =p•q, und p ist eine Primzahl und q eine Quadratzahl aus Primzahlen. Die Zahl 2023 ist so eine Zahl, denn 2023 = 172•7.
Dass auch für diese Zahl ganzzahlige Werte für a und b gefunden werden können, die auf einer Parabel liegen, zeigt das folgende Applet.