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Razões trigonométricas no ciclo

INTRODUÇÃO

Fenômenos Periódicos

Um fenômeno é dito periódico quando ele se repete, indefinidamente, após intervalos de tempo iguais. Vários fenômenos físicos se enquadram nessa perspectiva como: o movimento das marés, os batimentos cardíacos, as fases da lua, a rotação do eixo de um motor, bem como os movimentos de rotação e translação que a Terra executa, além de muitos outros. Tomemos como exemplo os movimentos de rotação e translação da Terra. O movimento contínuo de rotação da Terra em torno do seu próprio eixo é realizado num período de 24 horas. Embora não sintamos o giro da Terra, esse movimento é importantíssimo, pois ele determina a sucessão dos dias e das noites. No movimento de translação, que também é periódico, a Terra executa sua órbita aproximadamente circular, em torno do Sol durante aproximadamente 365 dias que correspondem a um ano, nesse período ocorre a mudança das estações climáticas em nosso planeta.

Esses movimentos podem ser modelados matematicamente, e a trigonometria é uma ferramenta imprescindível para entendermos o comportamento desses fenômenos.

Construindo o conceito

A construção abaixo apresenta uma circunferência centrada na origem O do plano cartesiano, cujo raio é representado pelo segmento OC. Os eixos cartesianos dividem a circunferência em quatro partes denominadas quadrantes, os quais encontram-se numerados de I a IV. Nesta construção consideraremos apenas ângulos positivos e estabeleceremos o sentido anti-horário para medi-los. Ao movimentar o ponto D horizontalmente, modifica-se o tamanho do raio da circunferência, e ao movimentarmos o ponto C, os valores do ângulo DOC, denominado aqui pela letra grega α, são alterados.

As questões de 01 a 04 são referentes à construção 01.

Construção 01

Questão 01

Como você classificaria o triângulo verde quanto a seus ângulos?

Questão 02

Quem assume o papel da hipotenusa do triângulo verde?

Questão 03

Posicione o ponto C no primeiro quadrante, desloque o ponto D e observe os valores das razões seno e cosseno. Para qual medida do raio da circunferência, os valores das razões seno e cosseno correspondem as coordenadas do ponto C? Sugestão: Depois de encontrar o valor procurado para o raio, torne a movimentar o ponto C e certifique-se de que as coordenadas deste ponto ainda coincidem com os valores das razões trigonométricas.

Questão 04

Movimente o ponto D para tornar o raio igual a 2 e calcule os valores do cosseno e do seno do ângulo α a partir das medidas dos lados do triângulo retângulo, mantenha o registro da razão entre esses lados.

Sem movimentar o ponto C, repita o procedimento para o raio igual a 1,5. Observe seus registros e explique porque as coordenadas do ponto C coincidem com os valores do cosseno e do seno quando o raio é igual a 1?

Questão 05

Considere o círculo de raio unitário com centro na origem e responda: Como podem ser definidos o cosseno e o seno do ângulo α a partir das coordenadas do ponto C?

Mais uma razão trigonométrica: a tangente

No capítulo sobre razões trigonométricas a definição de tangente foi dada pela razão entre o seno e o cosseno do ângulo α, porém, a exemplo do que fizemos com o cosseno e com o seno do ângulo α, vamos agora representar a tangente no ciclo trigonométrico.

Orientações sobre a construção 02

Na construção 2 o ponto P é obtido como interseção entre a reta t, que tangencia o ciclo trigonométrico no ponto D, e a semirreta OC, de modo que sua ordenada corresponde ao comprimento do segmento PD.

Construção 02

Questão 06

Na Construção 2, como você classificaria o triângulo rosa quanto a seus ângulos?

Questão 07

Qual o valor do cateto adjacente ao ângulo α no triângulo rosa?

Questão 08

Com base nas respostas que você deu para as questões 6 e 7 e na definição da tangente de um ângulo em triângulo retângulo (razão entre as medidas dos catetos oposto e adjacente), forneça a relação entre a ordenada do ponto P e o valor da tangente do ângulo α. Movimente o ponto C para verificar se a relação percebida por você realmente se sustenta.

Questão 09

Na construção 02 desloque o ponto C pelo 1º quadrante e observe o comportamento do segmento DP. (a) Qual o valor da tangente quando o ângulo α equivale a 0°? (b) Quando o ângulo α se aproxima de 90° o que acontece com o valor do comprimento do segmento DP? (c) O que podemos afirmar sobre a tangente do ângulo α quando este mede 90°?

Definição de Ciclo Trigonométrico

Passamos a definir o ciclo trigonométrico como a circunferência centrada na origem do plano cartesiano, de raio igual a 1, utilizada para definir os valores das razões trigonométricas de um ângulo qualquer. Nele ângulos tomados no sentido anti-horário possuem medida positiva e aqueles tomados no sentido horário possuem medida negativa.

Ciclo trigonométrico

Vimos, nas representações acima, que as relações trigonométricas antes estabelecidas no triângulo retângulo, também podem ser obtidas através de uma outra formalização construída a partir do ciclo trigonométrico. Na próxima atividade, vamos nos aprofundar sobre o significado das razões trigonométricas para ângulos maiores que 90°.