Droite d'Euler et triangle médian
Démonstration en géométrie synthétique avec l'homothétie et les configurations fondamentales, sans utiliser les vecteurs.
Soit PQR le triangle ayant ABC comme triangle médian.
P, Q et R sont les points d'intersection des parallèles aux côtés du triangle ABC passant par les sommets A, B et C.
La hauteur (AhA), perpendiculaire à (BC), est perpendiculaire à la parallèle (QR), en A milieu de [QR].
La hauteur issue de A est donc la médiatrice de [QR].
Les hauteurs du triangle ABC sont donc les médiatrices de PQR.
L'orthocentre H de ABC est le centre du cercle circonscrit à PQR.
(PA) médiane de PQR est une diagonale du parallélogramme ABPC.
A’ milieu de [BC] est donc aussi le milieu de [PA] : les médianes (AA’) et (PA) sont confondues.
Les médianes de ABC et de PQR sont confondues.
G est le centre de gravité des triangles ABC et PQR.
L'homothétie H(G, –2) transforme le triangle ABC en PQR.
Dans cette homothétie, les images des médiatrices de ABC sont les médiatrices de PQR, hauteurs de ABC.
Le point O, centre du cercle circonscrit à ABC, a pour image le H, point d'intersection des médiatrices de PQR, orthocentre de ABC.
Les points O, G et H sont alignés, sur la droite d'Euler, et GH = 2 GO (relation d'Euler).
Descartes et les Mathématiques : droite d'Euler