Monotonieverhalten und Extrempunkte bestimmen
Nun zeigen wir am Beispiel einer ganzrationalen Funktion, wie man vorgehen kann, um das Steigungsverhalten ("Monotonieverhalten") und die Extrempunkte einer Funktion zu bestimmen.
Beispiel:
Wir suchen nun die Stellen, an denen Hoch-, Tief- oder Terassenpunkte vorliegen. Aus dem letzten Abschnitt wissen wir, dass an diesen Stellen waagerechte Tangenten vorliegen, d.h. mt = 0, d.h. ist. Daher setzen wir die erste Ableitung gleich null, um diese Stellen zu finden:
oder
MNF: ;
Um herauszufinden, was für Punkte an diesen Stellen vorliegen (Hoch-, Tief-, Terassen-P.) untersuchen wir nun anhand einer Vorzeichentabelle das Steigungsverhalten ("Monotonieverhalten") von f. Im folgenden Applet finden Sie eine solche Vorzeichentabelle. In diese tragen wir die berechneten Stellen der Größe nach geordnet ein, was bereits geschehen ist. Dass f'(x) an diesen Stellen 0 ist, tragen wir ebenfalls ein, und dass dies jeweils eine Steigung null des Graphen bedeutet, machen wir graphisch durch waagerechte Striche deutlich. All dies ist bereits geschehen.
Nun müssen wir noch die Bereiche zwischen den berechneten Stellen und rechts und links davon auf die Steigung untersuchen. Dazu kann man einen Wert aus dem entsprechenden Bereich nehmen, diesen in f'(x) einsetzen, um die Steigung zu berechnen. Von dieser interessiert uns hier nur das Vorzeichen, weil wir nur herausfinden wollen, ob der Graph in diesem Bereich steigt oder fällt. Also tragen wir für jeden der Bereiche entweder ein + oder ein - in die Tabelle.
Bsp: f'(5) = 435, also tragen wir für den Bereich links von -1,54 ein + in die Tabelle ein.
Aufgabe: Berechnen Sie jeweils für einen x-Wert aus den vier zu untersuchenden Bereichen f'(x) und tragen Sie das Vorzeichen des Ergebnisses in die Tabelle ein. (Hinweis: aus technischen Gründen müssen Sie das Vorzeichen in Anführungszeichen setzen, also entweder "-" oder "+" eingeben).
Immer wenn Sie ein Vorzeichen richtig eingeben, erscheint darunter ein fallender oder steigender Strich als graphische Veranschaulichung der Steigung des Graphen von f.
Auf diese Weise ergibt sich ein graphisches Bild vom Steigungsverhalten der Funktion f, dem man unmittelbar entnehmen kann, dass an der Stelle x = -1,54 ein Hochpunkt, an der Stelle x = 0 ein Terassenpunkt und an der Stelle x = 2,34 ein Tiefpunkt vorliegt.
Abschließend berechnen wir noch die y-Werte dieser Punkte, um das vollständige Ergebnis unserer Untersuchung zu erhalten. Dazu setzen wir die x-Werte in die Funktion f(x) ein:
, also Hochpunkt H(-1,54|1,53)
, also Terassenpunkt TP(0|0)
, also Tiefpunkt T(2,34|-7,34)
Wenn man nun noch weitere Eigenschaften wie Symmetrie, Nullstellen, Verhalten im Unendlichen usw. untersucht (vgl. Klasse 10: hier klicken), lässt sich schließlich der Graph von f skizzieren. Es ergibt sich folgendes Bild:
Beachten Sie, dass sich aus der obigen Vorzeichentabelle schon ein sehr brauchbares Bild über den Verlauf des Graphen ergibt!
Aufgaben
Üben und Vertiefen Sie Ihr Verständnis, indem Sie folgendes Blatt mit Aufgaben durcharbeiten. Sie können Ihre Ergebnisse überprüfen, indem Sie den Graphen jeweils mithilfe von Geogebra zeichnen.
