Isometrías afines
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Cambio de sistema de referencia.
Observa que en el capítulo de Isometrías, en todas ellas, salvo en la traslación, el origen O del nuevo sistema de referencia coincide con el origen cartesiano (0,0,0). Es decir, este punto (0,0,0) permanece fijo.
Dicho de otro modo, las transformaciones isométricas que hemos visto hasta ahora son todas, salvo la traslación, transformaciones lineales.
¿Cómo podemos entonces realizar una transformación isométrica afín? Es decir, dada una figura espacial, ¿cómo podemos girarla alrededor de un centro O arbitrario o reflejarla en una recta arbitraria?
Gracias al uso de coordenadas homogéneas y a la composición, el método para lograrlo es muy sencillo. Lo único que tenemos que hacer es componer la traslación con las isometrías lineales ya vistas.
En la siguiente construcción se muestra un ejemplo. Queremos girar t grados el poliedro F alrededor de la recta que pasa por O=(0, 3, 0) con vector director unitario u=.
Primero, llamaremos To a la traslación de (0,0,0) a O. Recordemos que su inversa, T'o es la traslación de O a (0,0,0).
Después, calculamos la matriz de cambio de base correspondiente al giro alrededor de la recta:
Sustituyendo las componentes ux, uy, uz del vector u:
Así que la matriz de transformación para ese giro será:
Ahora hacemos lo siguiente, en este orden:
- Trasladamos el plano por el vector opuesto al vector de posición de O (de este modo, O coincidirá con el origen cartesiano). Es decir, aplicamos T'o.
- Aplicamos la transformación lineal Tg.
- Volvemos a trasladar el plano, esta vez por el vector de posición de O (de este modo, O volverá a ocupar la posición inicial). Es decir, aplicamos To.
T = To Tg T'o
Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.