Taylorpolynome

In der Physik gibt es Beispiele, für die eine exakte mathematische Beschreibung zwar möglich ist, aber oft recht unhandlich ist. In einigen Fällen wird man daher versuchen, unter bestimmten Bedingungen eine Vereinfachung zu finden, die die Berechnungen vereinfachen, ohne eine große Abweichung von den exakten Werten zu erhalten. Eine Möglichkeit dabei ist die Anwendung von Taylor-Polynomen. Wir haben im vorigen Abschnitt gelernt, wie man ganzrationale Funktionen mithilfe ihrer Ableitungen bestimmen kann. Die Ergebnisse werden wir hier versuchen, auf allgemeine Funktionen anzuwenden.

Wir werden hier an einigen Beispielen sehen, ob sich für die Ableitungen an einer festen Stelle eine Regel finden lässt, so dass sich Polynome zur Annäherung der Funktionswerte aufstellen lassen. Alle hier vorgestellten Funktionen sind beliebig oft differenzierbar. Die ganzrationalen Funktionen haben wir im vorigen Abschnitt beleuchtet, daher wenden wir uns sofort den folgenden Beispielen zu. Exponentialfunktion: Die natürliche Exponentialfunktion ist . Sie hat die bemerkenswerte Eigenschaft, dass sie mit ihren Ableitungen übereinstimmt. Wollen wir das Näherungspolynom an der Stelle null entwickeln, benötigen wir den Wert der Ableitungen für . Für jedes beliebige ist . Das zugehörige Polynom ist . Im Applet sehen Sie, dass für wachsende der Graph der Funktion immer besser angenähert wird. Durch Ziehen des Punktes können Sie auf der linken Seite einsehen, wie stark die Werte von und voneinander abweichen. Mithilfe geeigneter mathematischer Kriterien lässt sich sogar für die Gleichheit zeigen. Die rechte Seite heißt Taylorreihe der Exponentialfunktion. Sinus- und Kosinusfunktion: Gehen wir hier ebenso wie zuvor bei der Exponentialfunktion vor und betrachten die Ableitungen von und an der Stelle null:

Ab der vierten Ableitung wiederholen sich die Werte. Damit sind wir auch hier in der Lage, die entsprechenden Polynome zu formulieren: und . Sie werden bei wachsendem sehen, dass die Polynome auch diese Funktionen sehr gut annähern. Auch hier existieren die Reihen und . Logarithmusfunktion: Bei dieser Funktion werden Sie im Applet zweierlei feststellen: Die Entwicklung erfolgt bei und ab fällt der Graph selbst (und erst recht) für große steil nach unten ab. Wir sehen an diesem Beispiel, dass die Konvergenz des Polynoms keine Selbstverständlichkeit ist. Wir können das Polynom auch nicht bei null entwickeln, da die Logarithmusfunktion dort nicht definiert ist. Legen wir nun wieder die Tabelle für die Ableitungen von an:

Bilden wir unter Nutzung der Verallgemeinerung das Taylor-Polynom . Die daraus gebildete Reihe konvergiert allerdings nur im Intervall . Näherung für kleine Werte: In der Physik treten oft Zusammenhänge der Form oder auf. Dabei muss nicht unbedingt ganzzahlig sein. Im Beispiel habe ich gewählt. Ist in solchen Fällen der Betrag von wesentlich kleiner als eins, so können die Funktionen schon für die kleinsten Grade durch ihre Näherungen ersetzt werden. Das ist oftmals sogar zwingend nötig, da die Potenz sich nur so gering von eins unterscheidet, dass deren Berechnung mit einem elektronischen Rechner das Ergebnis 1 liefert, was unbrauchbar wäre. Betrachten wir zunächst die Funktion : Die erste Ableitung ist . An der Stelle null sind und . Die Gleichung der Tangente

stellt damit für kleine Werte eine gute Näherung und eine rechnerische Vereinfachung dar. Für kann man sich gut merken. Bei der Funktion benötigen wir die zweite Ableitung, da wir sehen werden, dass die erste Ableitung an der Stelle null verschwindet. Die beiden Funktionen lauten und . Es sind dann , und . Damit ist das Polynom zweiten Grades

.

Die Ergebnisse für beide Funktionsklassen sehen sich sehr ähnlich und können daher gut gemerkt werden. Abschließend wenden wir das Näherungsverfahren für einen Zusammenhang aus der Relativistik an. Dort spielt der Term eine wichtige Rolle. Er entspricht mit , und der Funktion . Wir nähern ihn für kleine Geschwindigkeiten durch an. Die Gleichung für die kinetische Energie (sie muss beispielsweise für -Teilchen angewendet werden) ist , wobei die Masse des ruhenden Körpers ist. Für makroskopische Körper sind die Geschwindigkeiten jedoch klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit. Man darf dann für die Näherung einsetzen und erhält . Das ist genau die Gleichung, die man aus der Schule für die kinetische Energie kennt.