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Macetero

Autor:
Javier Cayetano Rodríguez
Tema:
Secciones Cónicas, Sólidos
(*) Para visualizar en modo RA (realidad aumentada), usar la actividad https://www.geogebra.org/m/pxgsvpdh. Esta no se puede, pues contiene dos applets.

Modelización matemática del macetero

Para modelizar el macetero, el primer paso será analizar qué elementos matemáticos lo componen:
  • El cuerpo es un paraboloide de revolución (se obtiene girando una parábola alrededor de un eje).
  • Las patas son tres esferas del mismo radio, tangentes al paraboloide, cuyos centros forman un triángulo equilátero.
Para abrir las opciones de configuración del macetero del modelo anterior, pulsa sobre la esfera de color marrón, y podrás mover los puntos con los que:
  • modificar la altura del macetero,
  • modificar hasta qué altura baja,
  • cambiar su apertura (apertura de la parábola) y
  • elegir el punto de tangencia de las esferas.
Image

Planteamiento del problema

Para crear este modelo, tendremos que resolver diferentes problemas matemáticos.
  • En primer lugar, dibujar la parábola cuyo perfil genera el paraboloide (al girar alrededor del eje Y).
  • Al situar un punto sobre la parábola, encontrar la esfera tangente en ese punto, que también es tangente al eje X, para que así, la esfera apoye en el suelo.

Calculando la parábola

  • Situando el vértice de la parábola en el eje Y, podemos escribir su ecuación como



donde es la altura mínima del macetero. En nuestro caso, elegimos directamente en el applet.
  • La altura h, hasta la que llegará el macetero y la apertura p que tendrá en ese momento, se determinan mediante un punto (p,h) del borde superior del macetero.
Según nuestra ecuación, debe ocurrir , de donde podemos deducir el valor .
  • Por último, el dominio de nuestra función (el macetero no es infinito), será para valores de x entre -p y p (también podemos tomar entre 0 y p, pues vamos a calcular la superficie de revolución). Tal y como hemos elegido la fórmula, su recorrido será entre y .
  • Una vez obtenida la parábola, para obtener el macetero, basta con generar la superficie de revolución correspodiente.

Calculando las esferas

  • Dado un punto de la parábola, nuestro problema es encontrar el centro de la circunferencia tangente que dista igual del eje X que de la parábola.
  • Como la circunferencia debe ser tangente a la parábola, este punto debe encontrarse en la recta perpendicular a la parábola P, pues el radio de la circunferencia es perpendicular a su recta tangente.
  • Por tanto, tendremos que calcular la recta perpendicular a la parábola en P, y luego elegir el punto de esa recta que dista igual de P y del eje X.
  • Derivando en la ecuación de la parábola, obtenemos un vector tangente en P, , de módulo .
Por tanto, un vector normal unitario a la parábola en P es , y cualquier punto de la recta perpendicular a la parábola puede expresarse como , donde , y también será el radio de la esfera tangente. Calculando la componente en Y en la expresión de C, obtenemos . Resolviendo la ecuación , resulta . Por tanto, para , ,
  • el centro de la esfera es . Simplificando, y
  • el radio de la esfera es .
Para terminar la construcción, bastará con generar la primera esfera, con los datos anteriormente calculados, y después las otras dos, aplicando giros de 120º alrededor del eje Y.

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