confocal Darboux cyclides 2-sheets
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Darboux Cycliden & bizirkulare Quartiken (10.08.2020) Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Moebiusebene 08. August 2020
Eine DARBOUX Cyclide ist eine Fläche, die implizit durch eine Gleichung des Typs bestimmt ist:- mit linearem und quadratischen und reellen Koeffizienten.
- , reell.
und Konfokale).
Eine Cyclide besitzt 3*4 Brennpunkte, sofern sie nicht rotationssymmetrisch ist ( !).
Für und besitzen die bizirkularen Quartiken in der -Ebene und in der -Ebene 2*4 Brennpunkte auf der -Achse und die bizirkulare Quartik in der -Ebene 4 Brennpunkte auf der -Achse.
Die konfokalen Cycliden mit diesen Brennpunkten bilden ein 3-fach orthogonales Flächensystem, vergleichbar den konfokalen Quadriken im Raum: Quadriken sind spezielle DARBOUX Cycliden, bei welchen ein für jede Koordinaten-Ebene 2-fach zählender Brennpunkt ist.
Nach dem Satz von CHARLES DUPIN sind die Schnittkurven der konfokalen Cycliden Krümmungslinien auf den Flächen, sie bilden ein 2-fach orthogonales Kurvennetz auf den Cycliden, abgesehen von den Brennpunkt-ähnlichen Punkten auf den Flächen.
Diese "Brenn-Punkte" sind die Schnittpunkte mit den Fokalkurven.
Durch jeden Punkt des Raumes, von den Brennpunkten abgesehen, gehen genau 3 paarweise orthogonale Cycliden.
Für die Punkte auf der -Achse sind dies die - und die -Ebene und eine dazu orthogonale Cyclide durch , welche die -Ebene in einer bizirkularen Quartik schneidet.
Der Parameter mit legt den Scheitelpunkt s_x auf der -Achse fest.
Mit der Variation von erhält man die Schar der konfokalen Cycliden:
- für ist die Cyclide 2-teilig, ein Teil liegt im Inneren des anderen Teils: Typ unten rechts.
- für ist die Cyclide vom Torus-Typ unten links
- für erhält man 2 getrennt liegende Teile vom Typ in der Mitte.
Die Cycliden werden mit Hilfe der Höhenlinien in der zuvor gewählten Farbe angezeigt.  |  |  |
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Kreise auf DARBOUX Cycliden:
Doppelt-berührende Kugeln schneiden eine DARBOUX Cyclide in Kreisen, die ganz auf der Fläche liegen.
2-teilige bizirkulare Quartiken besitzen 4 Scharen doppelt-berührender Kreise. 3 der Scharen liegen auf derselben Seite der Quartik, die 4. Schar liegt auf der anderen Seite.
Aus den 3 Scharen kann man auf 8 verschiedene Weisen 6-Eck-Netze aus Kreisen bilden: Walter Wunderlich "Über ein besonderes Dreiecksnetz aus Kreisen" (1938 [WUNW]).
Die doppelt-berührenden Kreise der bizirkularen Quartiken auf den Symmetrieebenen der Cycliden lassen sich fortsetzen zu orthogonalen doppelt-berührenden Kugeln.
Auf diesem Wege findet man die Kreise auf DARBOUX Cycliden und die 6-Eck-Netze aus Kreisen auf ihnen: man vergleiche die Aktivität Blaschke's Frage & Darboux Cycliden. Dort wird auf Literatur zu diesem spannenden Thema hingewiesen.
Die doppelt-berührenden Kreise der bizirkularen Quartiken in der -Ebene kann man erkunden mit dem
Kontrollkästchen dbC: Die Brennpunkte können auf 3 verschiedene Weisen Quellpunkte von hyperbolischen Kreisbüscheln sein. Die doppelt-berührenden Kreise, welche nicht orthogonal zur -Achse liegen, sind Winkelhalbierende dieser Büschelkreise.
Unser Deutungsversuch: die aus den linearen Kugelbüscheln gebildeten Wellen überlagern sich. Die Resultierenden winkelhalbierenden Kugelwellen überstreichen die Cycliden in Kreiswellen.
Manche Kreiswellen verschwinden ins Komplexe: dies geschieht wie bei den konfokalen Quadriken in den Schnittpunkten mit den Fokal-Kurven. Vermutlich trifft dies allgemein für DARBOUX Cycliden zu!
Die 6-Eck-Netze aus Kreisen auf DARBOUX Cycliden gehen in den oben beschriebenen Grenzfällen zweilagig in 6-Eck-Netze auf Kugeln über.
Diese Netze sind geau die von Walter Wunderlich beschriebenen "besonderen Dreiecksnetzen aus Kreisen".
Zu diesem Thema sei auf das Kapitel 6-Eck-Netze aus Kreisscharen im geogebra-book "Möbiusebene" hingewiesen.
Unsere Vermutung: 6-Eck-Netze aus Kreisen,
- die keine Geraden-6-Eck-Netze
- und keine Kreis-Netze aus speziellen Büschel-Kreisen sind, wie wir sie im Kapitel 6-Eck-Netze aus Kreisbüscheln aufgelistet
haben
bestehen aus doppelt-berührenden Kreisen einer bizirkularen Quartik.
dbC: Die Brennpunkte können auf 3 verschiedene Weisen Quellpunkte von hyperbolischen Kreisbüscheln sein. Die doppelt-berührenden Kreise, welche nicht orthogonal zur -Achse liegen, sind Winkelhalbierende dieser Büschelkreise.
Unser Deutungsversuch: die aus den linearen Kugelbüscheln gebildeten Wellen überlagern sich. Die Resultierenden winkelhalbierenden Kugelwellen überstreichen die Cycliden in Kreiswellen.
Manche Kreiswellen verschwinden ins Komplexe: dies geschieht wie bei den konfokalen Quadriken in den Schnittpunkten mit den Fokal-Kurven. Vermutlich trifft dies allgemein für DARBOUX Cycliden zu!
Die 6-Eck-Netze aus Kreisen auf DARBOUX Cycliden gehen in den oben beschriebenen Grenzfällen zweilagig in 6-Eck-Netze auf Kugeln über.
Diese Netze sind geau die von Walter Wunderlich beschriebenen "besonderen Dreiecksnetzen aus Kreisen".
Zu diesem Thema sei auf das Kapitel 6-Eck-Netze aus Kreisscharen im geogebra-book "Möbiusebene" hingewiesen.
Unsere Vermutung: 6-Eck-Netze aus Kreisen,
- die keine Geraden-6-Eck-Netze
- und keine Kreis-Netze aus speziellen Büschel-Kreisen sind, wie wir sie im Kapitel 6-Eck-Netze aus Kreisbüscheln aufgelistet
haben
bestehen aus doppelt-berührenden Kreisen einer bizirkularen Quartik.