Triángulo a partir de los puntos medios de las cevianas
Problema:
En el interior de un triángulo (ABC) se toma al azar (aleatoriamente y con distribución uniforme) un punto P. Considerando las correspondientes cevianas por P (AA', BB' y CC') calcular la probabilidad de que P sea interior al triángulo determinado por los puntos medios de esas cevianas (KLM).
(Extraído de Cut the Knot: Probability Riddles de Alexander Bogomolny)
Esta actividad se incluye en el capítulo de Probabilidad Geométrica del libro Probabilidad: simulaciones y problemas
Simulación:
Experimenta con la simulación y contesta:
- Observa el triángulo inicial. ¿Cumple el punto P la condición planteada en el problema?
- Pulsa el botón "Simular una vez" y observa los cambios. Haz hasta 10 simulaciones ¿Cuántos de los 10 primeros puntos han cumplido la condición?
- ¿Qué te parece más probable, que el punto P quede dentro o fuera del triángulo pequeño?
- Tras 200 simulaciones (puedes pulsar el play para realizar las simulaciones con rapidez), ¿en torno a qué porcentaje de los puntos cumplen la condición?
- Explica cómo se construye la gráfica de la parte inferior y qué conclusiones sacas de su forma.
- Modifica el triángulo a tu gusto (arrastrando los vértices) y comprueba si los resultados obtenidos son diferentes.
- Intenta calcular la probabilidad solicitada de un modo razonado.
- Si no se te ocurre cómo, pulsa el botón "Colorea" y observa.