Función Racional
Modelo Algebraico
Una función racional es muy parecida a un número racional, con la diferencia de que, en lugar de utilizar números, se utilizan funciones.
siendo necesariamente el denominador
Es bien conocido que, cuando el denominador tiene el valor 0, el resultado de la función escapa de los números reales y no podemos comprender ni manipular el resultado.
Igualmente sabemos que, los valores de la variable independiente que hacen 0 el denominador no forman parte del dominio de la función.
Por lo tanto, esos valores que hacen 0 el denominador y que no pertenecen al dominio de la función, se llaman valores asintóticos verticales.
así pues, para encontrar los valores asintóticos verticales de una función racional, basta con hacer 0 la función del denominador y encontrar las soluciones o raíces de ella.
Modelo gráfico
El lugar geométrico o gráfica de una función racional, se llama hipérbole o hipérbola.
A continuación se visualiza la gráfica de la función para tener una idea de la forma de la misma
Ejemplo de hipérbola
Como se puede apreciar en la ilustración, se trata de una gráfica discontínua y descendente en donde la gráfica se aproxima hacia el si x se acerca a 0 por la izquierda, y hacia el si x se acerca a 0 por la derecha.
Como ya lo habíamos mencionado previamente, cuando x=0 se tiene una asíntota vertical, que es una línea imaginaria que acompaña a la gráfica.
¿Recuerdan el chiste del crush? Pues bien, la asíntota vertical es como mi crush y yo soy como la gráfica. Podemos estar muy cerca uno del otro, pero jamás llegaremos a unirnos ni, mucho menos, nos llegaremos a cruzar :'(
La gráfica de una función racional puede tener una cantidad infinita de asíntotas verticales.
Como habrán notado en la gráfica, no solamente se tiene una línea asintótica vertical cuando x=0, sino que también se tiene una línea asintótica horizontal cuando y=0.
Entonces, tenemos diferentes tipos de asíntotas que pueden hacerse presentes en las funciones racionales.
Veamos las diferentes posibilidades:
Sea la función racional con siendo m el grado de la función (numerador) y n el grado de la función (denominador). Entonces tenemos alguno de los tres siguientes casos:
1) Si el grado de f(x) (función del numerador) es menor que el grado de g(x) (función del denominador), es decir, si m < n entonces existe una asíntota horizontal en y = 0.
Asíntota horizontal en y=0
2) Si f(x) (función del numerador) es del mismo grado que g(x) (función del denominador) y además a es el coeficiente principal de f(x) y b es el coeficiente principal de g(x), entonces existe una asíntota horizontal en
Asíntota horizontal en y = a/b
En la gráfica anterior se puede observar que el grado de las funciones del numerador y denominador son iguales. Entonces, existe una asíntota horizontal en siendo a el coeficiente principal del numerador y b el coeficiente principal del denominador.
La asíntota horizontal se encuentra entonces en
3) Si el grado de f(x) (función del numerador) es mayor que el grado de g(x) (función del denominador), es decir que si m > n entonces no existe asíntota horizontal.
Sin asíntotas horizontales ni oblicuas
4) Si el grado de la función f(x) (función del numerador) es mayor que el grado de g(x) (función del denominador) en uno, entonces existe una asíntota oblicua cuya función es el resultado de la división de las funciones.
Es decir, si m = n+1 entonces hay asíntota oblicua.
La función que define la asíntota oblicua se define por la función sin tomar en cuenta el residuo.
Asíntota oblicua en y = f(x) / g(x)
Como puede observarse en la gráfica anterior, la función de la asíntota oblicua es el resultado de la división de las funciones, sin tener en cuenta el residuo.
con residuo
por lo que la asíntota oblicua es la gráfica de
NOTAS IMPORTANTES:
I) Si existe asíntota horizontal, entonces no existe asíntota oblicua, y viceversa.
II) La gráfica sí puede unirse o incluso cruzarse con la asíntota horizontal u oblicua (ojalá que así fuéramos mi crush y yo :-D :-D )
III) En una función racional sólo puede haber una asíntota oblicua u horizontal.
A continuación se proponen algunos ejemplos a manera de práctica que te permitirán entender mejor las funciones racionales y las asíntotas.
Calcula analíticamente las asíntotas verticales, horizontales u oblicuas, si existiesen, de la siguiente función racional:
Grafica en un plano cartesiano la función racional y las asíntotas.
SUGERENCIAS:
1) Para encontrar las asíntotas verticales, recuerda igualar a 0 el denominador y resolver la ecuación que obtengas.
2) Para encontrar las asíntotas horizontales u oblicuas hay que revisar en cuál de los 4 casos descritos se encuentra la función racional dada.
SOLUCIÓN:
Asíntotas verticales:
Existen asíntotas verticales en x = 3 y en x = -3
Asíntotas horizontales u oblicuas:
Existe asíntota horizontal en y=0
Para graficar, en la plantilla de GeoGebra se introduce la función original. Después se introducen las ecuaciones obtenidas de cada una de las asíntotas y se obtiene la siguiente gráfica (puedes modificarla, si gustas, y reiniciarla con las flechas circulares que están en la parte superior derecha):
Calcula analíticamente las asíntotas verticales, horizontales u oblicuas, si existiesen, de la siguiente función racional:
Grafica en un plano cartesiano la función y las asíntotas.
SUGERENCIA: Para obtener las asíntotas verticales, iguala a cero el denominador y factoriza por factor común para reducirla a una funciones de grado menor.
RESPUESTAS:
Asíntotas verticales en x= -1; x = 0; x = 2
Asíntota horizontal en y = 3
Puedes modificar las ecuaciones y desplazar la gráfica, si lo deseas. La gráfica se reinicia si presionas las flechas circulares que están en la parte superior derecha.
Calcula anlíticamente las asíntotas verticales, horizontale u oblicuas, si existiesen, de la función racional
Grafica en un plano cartesiano la función racional y las asíntotas.
RESPUESTAS:
Asíntotas verticales:
x = 2
Asíntotas horizontales u oblicuas:
No existen en ésta función
Puedes modificar la ecuación y mover la gráfica, si lo deseas. Se reinicia si presionas las flechas circulares en la parte superior derecha.
Calcula de manera analítica las asíntotas verticales, horizontales u oblicuas, si existiesen, de la siguiente función racional:
RESPUESTAS:
Asíntotas verticales:
No hay asíntotas verticales en ésta función racional.
Asíntotas horizontales u oblicuas:
Existe una asíntota oblicua en
Puedes modificar la ecuación y mover la gráfica, si lo deseas. Se reinicia si presionas las flechas circulares en la parte superior derecha.