Pendiente de una Recta y ángulo de inclinación

Pendiente de una recta Pendiente de una recta (m), es la inclinación de la recta con relación al semieje positvo X. Se define como el cociente entre la inclinación y el avance entre dos puntos cualesquiera de la recta.

X es el desplazamiento horizontal (en el eje X) y

Y es el desplazamiento vertical (en el eje Y). Como m es un cociente, se tienen varios casos: - Los dos desplazamientos pueden ser positivos: horizontal hacia la derecha (+) y vertical hacia arriba (+).

m > 0 - Los dos desplazamientos pueden ser negativos: horizontal hacia la izquierda (-) y vertical hacia abajo (-).

m > 0 - Los dos desplazamientos pueden tener signos contrarios: Horizontal hacia la derecha (+) y vertical hacia abajo (-),

m < 0 Horizontal hacia la izquierda (-) y vertical hacia arriba (+),

m < 0 - Uno de los desplazamientos es nulo: Cuando y₂ = y₁ se tiene que,

m = 0 Cuando x₂ = x₁se tiene que,

m no está definida En el applet que se muestra a continuación, mueva los puntos P₁ y/o P₂ y observe los desplazamientos. Active las casillas de verificación de los vectores y la casilla de cálculos.

Ángulo de inclinación de una recta El ángulo de inclinación de una recta es el ángulo que forma la recta con el eje X. Se mide desde el eje X hasta la recta en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj y siempre será positivo. La figura 1 muestra una recta en el plano cartesiano que pasa por los puntos P₁ y P₂.

es el ángulo de inclinación de la recta. El triángulo P₁AP₂ es triángulo rectángulo, por lo tanto se pueden aplicar en él las razones trigonométricas. En este caso nos interesa tangente que se define como cateto opuesto/cateto adyacente.

En la figura 1,

, entonces

. Es un ángulo agudo (medida menor de 90°).

De la recta que se muestra en la figura 2 se puede obtener:

pero también

De las dos respuestas obtenidas se toma la segunda porque el ángulo de inclinación de una recta debe ser siempre positivo. Obsérvese que la segunda respuesta corresponde al suplemento del valor absoluto de la primera (

). En conclusión se tiene que el ángulo de inclinación de la recta de la figura 2 es

. Es un ángulo obtuso (medida mayor de 90° y menor de 180°). En el applet active la casilla de verificación ángulo de inclinación.

Posición de una recta en un plano cartesiano en dos dimensiones La posición de una recta en el plano cartesiano X - Y puede darse en 4 formas diferentes:

1. Si la pendiente es positiva (m>0), la recta es inclinada ascendente y el ángulo de inclinación θ con relación al semieje X positivo es agudo,es decir, menor que 90°. 2. Si la pendiente es negativa (m<0), la recta es inclinada descendente y el ángulo de inclinación θ con relación al semieje X positivo es obtuso, es decir, mayor que 90° y menor que 180°. 3. Si la pendiente es nula (m = 0), la recta es horizontal y el ángulo de inclinación θ con relación al semieje X positivo es 0°. Este caso se presenta cuando y₂ = y₁. 4. Si la pendiente de la recta no está definida, la recta es vertical y el ángulo de inclinación θ es de 90°. Este caso se presenta cuando x₂ = x₁. En el applet active la casilla de verificación características de la recta.

Para saber más... La pendiente de una recta también se puede calcular si se tiene o conoce la ecuación de la recta. Esto se detallará en la sección siguiente. Ecuación Normal:

Pendiente de una Recta y ángulo de inclinación

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