Feldlinien

Als es um die Vektorfelder ging, haben Sie bestimmt die Erwähnung der Feldlinien vermisst. Dass ich diese nicht angesprochen habe, liegt daran, dass das Zeichnen einer Feldlinie auch mit dem Lösen von Differentialgleichungen verbunden ist. Wir werden hier sowohl eine analytische Berechnung als auch eine numerische Näherung betrachten.

In der Schule werden die Feldlinien als diejenigen Linien gekennzeichnet, die sich ergeben, wenn man an einem Punkt im Raum beginnt und in Richtung der Feldstärke weiterzeichnet. Die Tangenten an die Feldlinien sind damit bis auf einen Faktor mit den Feldstärken in den Berührpunkten identisch. Hier betrachten wir anstelle von Feldstärken allgemeine Vektorfelder. Ansonsten steckt in der Definition auch schon der Ansatz zu einer Beschreibung. Eine Feldlinie ist eine Parameterkurve. Wir wissen, dass die Richtung der Tangenten an die Kurve gleich der Ableitung nach dem Parameter ist. Diese Ableitung soll nun mit dem Feldvektor in dem betrachteten Punkt übereinstimmen. Nennen wir das Vektorfeld und die Feldlinie , dann kann die Definition zu

formuliert werden. Das ist ein homogenes Differentialgleichungssystem erster Ordnung. Damit ist nun grundsätzlich jede Feldlinie durch das Vektorfeld und einen Startpunkt beschrieben. Wir werden die Definition in zwei Beispielen konkret anwenden. Die analytische Beschreibung einer Feldlinie Sei ein Vektorfeld durch gegeben. Wir sehen sofort, dass das System

der Bestimmungsgleichungen für eine Feldlinie ein Eigenwertproblem ist. Zusammen mit dem Punkt A kann dieses so gelöst werden, wie wir das bereits durchgeführt haben. Im Applet sind Teile der Berechnungen und die Feldlinie ab dem Punkt A dargestellt.

Im Allgemeinen lassen sich Differentialgleichungen nicht immer analytisch lösen. Ich habe daher in einem zweiten Applet zwei Annäherungsverfahren verwendet, um eine Darstellung für (fast) beliebige Vektorfelder zu ermöglichen. Eine Möglichkeit besteht darin, ein möglichst kleines Vielfaches an einem Punkt anzugeben und damit einen neuen Punkt mit zu bestimmen. Anschließend wird zum Ausgangspunkt und die Berechnung kann erneut stattfinden. Lässt man die Punkte einzeichnen, so ergibt sich auf rekursive Weise die Feldlinie. Hinter diesem Vorgehen verbirgt sich letztlich das numerische Lösungsverfahren nach Newton für Differentialgleichungen. Dieses ist zwar leicht nachvollziehbar, doch recht ungenau. Im Applet können Sie deutlich sehen, wie sehr die so erzeugte Kurve von derjenigen, die ich unter Zuhilfenahme des Lösers aus GeoGebra erstellt habe, abweicht. Genauer arbeitet der Befehl NLöseDgl( Liste von Ableitungen, Startwert x-Koordinate, Liste von Anfangswerten der y-Koordinaten, Endwert x-Koordinate ), den ich direkt auf die Funktionen für die x- und die y-Koordinate des Vektorfeldes angewendet habe.