Il metodo della parabola
IL NOSTRO PERCORSO VERSO LA SOLUZIONE
In questo capitolo vogliamo imparare un metodo grafico, cioè che si aiuta con la visualizzazione su un disegno, per risolvere le disequazioni di secondo grado. Questo metodo si chiama "metodo della parabola" perché si utilizza in particolare con le espressioni di secondo grado che, disegnate sul piano, sono rappresentate da una curva chiamata appunto "parabola". Il metodo consiste nel disegnare la parabola associata alla nostra disequazione e ad usare il grafico per trovare le soluzioni. Per arrivare alla soluzione finale capendo quello che stiamo facendo, seguiremo un percorso in tre passi:
Continuando a compilare la tabella per TUTTI i giorni possibili possiamo vedere in quali giorni abbiamo un conto in positivo ed in quali è negativo, e quindi abbiamo risolto il nostro problema. Il metodo funziona, ma è molto lungo e decisamente noioso. Nel prossimo paragrafo iniziamo a cercare un modo per renderlo più semplice aiutandoci con la rappresentazione sul piano di questi dati.
- faremo un esempio concreto di un problema per capire meglio cosa stiamo cercando
- vedremo come la rappresentazione grafica ci aiuta a "vedere" la soluzione
- perfezioneremo il metodo capendo quali sono le informazioni essenziali che ci servono per disegnare la parabola, in modo da calcolare solo quelle e lasciar perdere il resto
- nella prima colonna inseriamo dei valori per i giorni (per il momento li scegliamo a caso)
- nella seconda colonna calcoliamo il risultato, cioè i soldi che abbiamo.
- nella terza colonna ci segniamo se in quel giorno siamo in positivo o no (cioè se il valore che abbiamo scelto per la soddisfa o no la disequazione, quindi è soluzione o no)
| VALORE DI | I SOLDI NEL GIORNO | NEL GIORNO ABBIAMO UN SALDO POSITIVO? |
| NO! il risultato è negativo! :( | ||
| NO! il risultato è negativo! :( | ||
| SI! il risultato è positivo, come richiede la disequazione! :) | ||
| SI! il risultato è positivo, come richiede la disequazione! :) |
UN METODO GRAFICO PER "VEDERE" IL RISULTATO PIÙ VELOCEMENTE
Vediamo nell'animazione qui sotto come rappresentando sul piano le coppie che abbiamo trovato (ogni giorno in coppia con i soldi che ho in quel giorno) possiamo fare un primo passo per risolvere graficamente (o visivamente) il nostro problema.
SEMPLIFICARE IL METODO: TROVARE LE INFORMAZIONI ESSENZIALI
Tramite il grafico abbiamo ottenuto una rappresentazione visiva di quali sono i giorni in cui il nostro conto in banca è positivo e quali no. Rimane però il problema che per vedere il grafico dobbiamo costruirlo, cioè calcolare tante coppie che ci indicano in ogni giorno quanti soldi abbiamo. Riusciamo ad utilizzare il grafico senza dover calcolare tutti questi punti?
Per farlo dobbiamo capire quali sono le caratteristiche davvero importanti del grafico e trovare solo quelle.
Ci accorgiamo che sono due:
- i punti importanti del grafico sono quelli in cui abbiamo 0 soldi, perchè sono quelli i punti che separano le parti rosse da quelle blu. Nel nostro esempio sono i punti ed . I valori di questi punti in cui la vale si chiamano "zeri" della funzione. Gli zeri della funzione "soldi in banca" sono quindi , la del punto , e , la di .
- l'altra cosa che dobbiamo sapere è l'orientamento del grafico, cioè dobbiamo per ogni zero dobbiamo sapere se la funzione sta scendendo da valori positivi a negativi (come nel punto nel nostro esempio) o viceversa sta salendo (come nel punto ): non è detto che il primo punto sia sempre "in discesa" ed il secondo "in salita".
RIASSUMENDO...
- Per capire quando una espressione di secondo grado è positiva o negativa, usiamo un metodo visivo: osserviamo il grafico dell'espressione, che è una parabola, e guardiamo in quali intervalli delle la parabola risulta positiva (cioè sopra l'asse) o negativa (sotto l'asse).
- Per disegnare il grafico non abbiamo bisogno di calcolare tutti i punti della parabola: ci basta trovare le in cui l'espressione vale zero (sono i punti in cui la parabola incontra l'asse , che infatti ha equazione , e quindi passa da sotto a sopra o viceversa)
- Disegnati questi due punti osserviamo il coefficiente per sapere se la parabola è rivolta verso l'alto o verso il basso: seguendo questa indicazione disegniamo una parabola che contiene tutte le informazioni necessarie per capire quali sono gli intervalli che ci interessano.
Vediamo ora un paio di esempi un po' particolari di applicazione del metodo della parabola. Rivediamone i punti fondamentali.
Il metodo si basa sul determinare il grafico della parabola trovando due informazioni:
- i punti in cui la parabola incontra l'asse delle ,
- L'orientamento della parabola, verso l'alto o verso il basso.
Vediamo infine come interpretare il caso in cui l'equazione associata abbia una sola soluzione: come disegnare una parabola che tocca l'asse in un solo punto?
L'esempio ci mostra anche che è importante confrontare OGNUNA delle condizioni richiesti dalla disequazione (nell'esempio che la quantità sia maggiore OPPURE uguale a zero) con quelle che la parabola soddisfa in uno o più dei suoi punti.